Analisar cada afirmação abaixo, indicando se é Verdadeira ou Falsa e justificar.
Se uma sequência é convergente, então ela é monótona.

Passo 1

Temos a afirmação “Se uma sequência é convergente, então ela é monótona”. O conteúdo envolve os conceitos de convergência e monotonicidade de sequências, que vamos usar para avaliar se essa implicação vale em geral.

Passo 2

Uma sequência (an) converge para L se, para todo varepsilon>0, existe N tal que para todo n>= N vale |an - L| < varepsilon. Isso significa que os termos de (an) ficam arbitrariamente próximos de L quando n cresce.

Passo 3

Uma sequência (an) é monótona se ou for não decrescente (para todo n, an+1 >= an) ou não crescente (para todo n, an+1 <= an).

Passo 4

Considere o contraexemplo dado pela sequência abaixo:
an = (-1)^nn
Observa-se que limntoinftyan = 0, ou seja, a sequência converge para 0. Porém, ela alterna sinais (por exemplo, a1=-1, a2=1/2, a3=-1/3), de modo que não satisfaz consistentemente nem an+1 >= an nem an+1 <= an. Assim, (an) não é monótona, embora seja convergente.

Resposta

Falsa. Um exemplo que refuta a afirmação é:
an = (-1)^nn
Essa sequência converge para 0 mas não é monótona.

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