A área da região delimitada por uma elipse de equação x^2a^2+y^2b^2=1, onde a, b>0, é dada por pi a b (figura abaixo). Sabe-se que a está crescendo a uma taxa de 4 cm / min, enquanto a área da elipse está aumentando a uma taxa de 8 cm^2 / min. A que taxa b, está variando quando a mede 10 cm e a área for 240 cm^2 ?

Passo 1

Enunciado e conteúdo: temos uma elipse de equação x^2a^2+y^2b^2=1 cuja área é dada por A=pi a b. Sabemos que dadt=4,cm/min e dAdt=8,cm^2/min. O objetivo é encontrar dbdt quando a=10,cm e A=240,cm^2. Vamos usar derivadas implícitas e regra do produto.

Passo 2

Derivação da área: partindo de
A=pi a b
aplicamos a derivada em relação ao tempo t (regra do produto):
dAdt=pil(adbdt+bdadtr)

Passo 3

Cálculo de b no instante: da fórmula da área isolamos b:
b=Api a=240picdot10=24pi,cm

Passo 4

Substituição e resolução: usamos dadt=4, dAdt=8, a=10 e b=24/pi na equação de dA/dt:
8=pil(10dbdt+24picdot4r)

Passo 5

Simplificando:
8=10pidbdt+96Rightarrow10pidbdt=-88Rightarrowdbdt=-8810pi=-445pi,cm/min

Resposta

-dfrac445pi,cm/min

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