Analisar cada afirmação abaixo, indicando se é Verdadeira ou Falsa e justificar.
O valor de b para que a série geométrica
é
.
O valor de b para que a série geométrica
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa afirmação juntos! A questão diz que o valor de
para que a série geométrica
seja igual a 9 é
. Nosso objetivo é descobrir se isso é verdade ou falso. Para resolver, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona uma série geométrica infinita. É uma soma infinita onde cada termo é um múltiplo constante do anterior. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde:
-
é a soma da série, -
é o primeiro termo, -
é a razão comum (o múltiplo constante entre os termos).
Passo 3
No nosso caso, a série é:
Aqui, o primeiro termo
e a razão comum
.
Passo 4
Sabemos que para a série convergir (ou seja, para ter uma soma finita), a razão
deve satisfazer
. Então, precisamos que:
Como
é sempre positivo, podemos simplificar para:
Passo 5
Para resolver
, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Sabendo que
e
, temos:
Então, para a série convergir,
deve ser negativo.
Passo 6
Agora, usando a fórmula da soma da série geométrica:
Substituindo
e
:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Passo 8
Agora, aplicamos o logaritmo natural para encontrar
:
Passo 9
Finalmente, verificamos se
satisfaz a condição
:
Como
, então
, o que está de acordo com a condição necessária para a série convergir.
Resposta
Verdadeira. O valor de
que torna a série geométrica igual a 9 é
.