Analisar cada afirmação abaixo, indicando se é Verdadeira ou Falsa e justificar.
O valor de b para que a série geométrica 1+e^b+e^2 b+e^3 b+ldots=9 é ln (89).

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa afirmação juntos! A questão diz que o valor de para que a série geométrica seja igual a 9 é . Nosso objetivo é descobrir se isso é verdade ou falso. Para resolver, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona uma série geométrica infinita. É uma soma infinita onde cada termo é um múltiplo constante do anterior. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
onde:
  • é a soma da série,
  • é o primeiro termo,
  • é a razão comum (o múltiplo constante entre os termos).

Passo 3

No nosso caso, a série é:
1 + e^b + e^2b + e^3b + ldots
Aqui, o primeiro termo e a razão comum .

Passo 4

Sabemos que para a série convergir (ou seja, para ter uma soma finita), a razão |e^b| < 1 deve satisfazer e^b < 1 . Então, precisamos que:
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:

Passo 5

Para resolver ln(e^b) < ln(1) , aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
b < 0
Sabendo que e , temos:
Então, para a série convergir, deve ser negativo.

Passo 6

Agora, usando a fórmula da soma da série geométrica:
S = a1 - r
Substituindo 9 = 11 - e^b e :

Passo 7

Vamos resolver para 1 - e^b = 19 :
e^b = 1 - 19
e^b = 89

Passo 8

Agora, aplicamos o logaritmo natural para encontrar b = ln(89) :

Passo 9

Finalmente, verificamos se satisfaz a condição :
Como , então , o que está de acordo com a condição necessária para a série convergir.

Resposta

Verdadeira. O valor de que torna a série geométrica igual a 9 é .

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