Analisar a continuidade das seguintes funções vetoriais:
h(x, y)=(x ln y, y ln x)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função vetorial
vec h(x,y)=(xln y,;yln x).
O conteúdo aqui é continuidade de função vetorial em R^2, usando que produto, projeções e logaritmo natural são contínuos em seu domínio.

Passo 2

Identificamos o domínio de definição: ln y só existe para y>0 e ln x só existe para x>0.
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D=(x,y)in R^2mid x>0,;y>0

Passo 3

Escrevemos as componentes:
h1(x,y)=xln y, h2(x,y)=yln x
A projeção (x,y)mapsto x e (x,y)mapsto y são contínuas em R^2, e ln é contínua em (0,infty). O produto de funções contínuas em D também é contínuo em D. Portanto h1 e h2 são contínuas em D.

Passo 4

Como ambas as componentes de vec h são contínuas em D, concluímos que
vec h é contínua em todo o domínio
D=(x,y)mid x>0,;y>0

Resposta

vec h é contínua exatamente para x>0 e y>0.

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