Calcule cada um dos limites
lim x 0^+(cotg x)^x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
L = limxto 0^+ l(cotg xr)^x^2
Este é um caso de forma indeterminada do tipo “ infty^0”. Para resolver, vamos usar a técnica de transformar em exponencial e empregar logaritmo natural.

Passo 2

Definimos
y = l(cotg xr)^x^2
e escrevemos
ln y = x^2,lnl(cotg xr)
Então
L = limxto0^+ y = exp!l(limxto0^+ x^2ln(cotg x)r)

Passo 3

Para avaliar limxto0^+ x^2ln(cotg x), vamos aproximar ln(cotg x) quando x é pequeno. Como
cotg x = cos xsin x Longrightarrow ln(cotg x) = ln(cos x) - ln(sin x),
usamos as expansões:
ln(cos x)approx -tfracx^22 e ln(sin x)approx ln x para xto0. Logo
ln(cotg x) approx -x^22 - ln x

Passo 4

Multiplicando por x^2, obtemos
x^2ln(cotg x) approx x^2l(-x^22 - ln xr) = -x^42 - x^2ln x
À medida que xto0^+, temos -tfracx^42to0 e também x^2ln xto0. Portanto
limxto0^+ x^2ln(cotg x) = 0

Passo 5

Voltando ao limite original, fica
L = exp!l(0r) = 1

Resposta

limxto 0^+ l(cotg xr)^x^2 = 1

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