Calcule cada um dos limites
lim x pi / 2(cos x)^x-pi / 2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtopi/2(cos x)^,x-pi/2.
Observamos que quando xtopi/2 a base cos xto0 e o expoente x-pi/2to0, ou seja, temos uma forma indeterminada 0^0. Para resolver, vamos usar a técnica de reescrever a potência como exponencial.

Passo 2

Reescrevendo
(cos x)^,x-pi/2 =expl((x-pi/2)ln(cos x)r)
Logo, nosso limite fica
limxtopi/2(cos x)^,x-pi/2 =exp!l(limxtopi/2(x-pi/2),ln(cos x)r)

Passo 3

Definimos
L=limxtopi/2(x-pi/2),ln(cos x)
Para estudar L, fazemos a mudança de variável t=x-pi/2, de modo que tto0 e
cos x=cosl(pi/2+tr)=-sin t

Passo 4

Quando tto0 vale sin tsim t, então
cos x=-sin tsim -t
Isto implica
ln(cos x)=ln(-t)+o(1), t,ln(cos x)sim tln(-t)
Mas sabemos que limtto0tln|t|=0. Como aqui tln(-t) também tende a 0, segue que
L=0

Passo 5

Voltando ao limite original, temos
limxtopi/2(cos x)^,x-pi/2 =exp(L) =exp(0) =1

Resposta

1

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