5. [18 pts] Determine se a afirmativa é verdadeira ou falsa. Prove/desprove precisamente, ou mostre um contra-exemplo.
A equação cartesiana
e a equação polar
representam a mesma curva.
Dica: utilize as relações usuais entre coordenadas polares e cartesianas e note que
.
Dica: utilize as relações usuais entre coordenadas polares e cartesianas e note que
Passo 1
O enunciado quer saber se a curva dada em coordenadas cartesianas
é a mesma que a curva em coordenadas polares
O conteúdo que vamos usar é a transformação
e a identidade
e a identidade
Passo 2
Partindo de
e usando
,
temos
e usando
temos
Agora elevamos ao quadrado para eliminar sinais e expressar em
:
Como
, segue
que é exatamente a equação cartesiana dada.
Passo 3
Para ver o caminho inverso, comece da cartesiana
ou seja
Desse modo
Passo 4
A diferença de sinal (
ou
) corresponde exatamente ao fato de que, em coordenadas polares, valores negativos de
traçam o mesmo ponto ao somar
a
. Logo a curva
já gera, por permitir
, todas as pétalas do “rosa” de quatro folhas descrita pela equação cartesian a. Não falta nem sobra parte alguma do gráfico.
Resposta
A afirmativa é verdadeira: ao converter uma equação na outra obtemos a mesma curva.