square 5. [18 pts] Determine se a afirmativa é verdadeira ou falsa. Prove/desprove precisamente, ou mostre um contra-exemplo.
A equação cartesiana (x^2+y^2)^3=4 x^2 y^2 e a equação polar r=sen(2 theta) representam a mesma curva.
Dica: utilize as relações usuais entre coordenadas polares e cartesianas e note que sen(2 theta)=2 sen(theta) cos (theta).

Passo 1

O enunciado quer saber se a curva dada em coordenadas cartesianas
é a mesma que a curva em coordenadas polares
O conteúdo que vamos usar é a transformação

e a identidade

Passo 2

Partindo de
;r=sin(2theta)
e usando
;sin(2theta)=2sinthetacostheta,
temos
r = 2,yr,xr ;Longrightarrow; r^3 = 2,xy
Agora elevamos ao quadrado para eliminar sinais e expressar em x,y:
r^6 = 4,x^2y^2
Como r^2 = x^2+y^2, segue
(x^2+y^2)^3 = 4,x^2y^2,
que é exatamente a equação cartesiana dada.

Passo 3

Para ver o caminho inverso, comece da cartesiana
(x^2+y^2)^3 = 4,x^2y^2,
ou seja
r^6 = 4,(rcostheta)^2,(rsintheta)^2 ;Longrightarrow; r^6 = 4,r^4cos^2thetasin^2theta ;Longrightarrow; r^2 = 4cos^2thetasin^2theta = sin^2(2theta)
Desse modo
r = pm,sin(2theta)

Passo 4

A diferença de sinal ( + ou -) corresponde exatamente ao fato de que, em coordenadas polares, valores negativos de r traçam o mesmo ponto ao somar pi a theta. Logo a curva
r = sin(2theta)
já gera, por permitir r<0, todas as pétalas do “rosa” de quatro folhas descrita pela equação cartesian a. Não falta nem sobra parte alguma do gráfico.

Resposta

A afirmativa é verdadeira: ao converter uma equação na outra obtemos a mesma curva.

Exercícios relacionados