Analisar a convergência das seguintes séries alternadas. Se são convergentes verificar se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
sumn=1^infty(-1)^n nn^3-n+5.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^nnn^3-n+5
e decidir se, além de convergente, ela converge também em valor absoluto. Vamos usar o teste de Leibniz (alternating series test) para a convergência condicional e o teste de comparação de séries positivas para a convergência absoluta.

Passo 2

Defina
an = nn^3-n+5
Primeiro observamos que para todo n>=1 o denominador n^3-n+5 é positivo, logo an>0. Em seguida, calculamos o limite
limntoinftyan =limntoinftynn^3-n+5 =limntoinfty1n^2-1+tfrac5n =0

Passo 3

Para aplicar o teste de Leibniz precisamos também que (an) seja monótona decrescente a partir de algum N. Considere a função contínua
f(x)=xx^3-x+5, x>=1
Seu derivado é
f'(x) =(x^3-x+5)cdot1 - xcdot(3x^2-1)(x^3-x+5)^2 =-2x^3+1+5(x^3-x+5)^2 =-2x^3+6(x^3-x+5)^2
Para x>=2 o numerador -2x^3+6 é negativo, logo f'(x)<0. Assim (an) é decrescente para n>=2.

Passo 4

Como an>0, limntoinftyan=0 e (an) é decrescente a partir de n=2, pelo teste de Leibniz a série
sumn=1^infty(-1)^nan
converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, considere
sumn=1^infty|(-1)^nan| =sumn=1^inftyan
e compare com a série 1/n^2. Note que
limntoinftyan1/n^2 =limntoinftyn/(n^3-n+5)1/n^2 =limntoinftyn^3n^3-n+5 =1
Como sum1/n^2 converge ( p-série com p=2>1), pelo teste de comparação limite a série sum an também converge.

Passo 6

Concluímos que a série alternada sum(-1)^nnn^3-n+5 não só converge (pelo teste de Leibniz) como também sua série de valores absolutos converge. Portanto ela é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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