Analisar a convergência das seguintes séries alternadas. Se são convergentes verificar se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
e decidir se, além de convergente, ela converge também em valor absoluto. Vamos usar o teste de Leibniz (alternating series test) para a convergência condicional e o teste de comparação de séries positivas para a convergência absoluta.
Passo 2
Defina
Primeiro observamos que para todo
o denominador
é positivo, logo
. Em seguida, calculamos o limite
Passo 3
Para aplicar o teste de Leibniz precisamos também que
seja monótona decrescente a partir de algum
. Considere a função contínua
Seu derivado é
Para
o numerador
é negativo, logo
. Assim
é decrescente para
.
Passo 4
Como
,
e
é decrescente a partir de
, pelo teste de Leibniz a série
converge.
Passo 5
Para verificar a convergência absoluta, considere
e compare com a série
. Note que
Como
converge (
-série com
), pelo teste de comparação limite a série
também converge.
Passo 6
Concluímos que a série alternada
não só converge (pelo teste de Leibniz) como também sua série de valores absolutos converge. Portanto ela é absolutamente convergente.
Resposta
A série converge absolutamente.