encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a soluçāo geral é definida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral. Isso é um caso de equação de variáveis separáveis: podemos reescrever de forma a isolar de um lado e do outro.
Passo 2
Dividimos ambos os lados por , assumindo e , para obter
Agora escrevemos em forma separada:
Passo 3
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo temos
No lado direito, fazemos a substituição u = 1 - x^3, logo du = -3,x^2,dx, portanto
integral 3,x^21 - x^3,dx = integral -1u,du = -lnl|ur| + C2 = -lnl|1 - x^3r| + C2
Passo 4
Igualando as integrais e reunindo constantes (C = C2-C1), obtemos
lnl|yr| = -lnl|1 - x^3r| + C
ou seja
lnl|yr| + lnl|1 - x^3r| = C Longrightarrow lnl|y,(1 - x^3)r| = C
Exponenciando, vem
l|y,(1 - x^3)r| = e^C = C',
onde C' é uma constante real não nula. Para simplificar, escrevemos
y,(1 - x^3) = C,
com CinR.
Passo 5
Isolando y, a solução geral fica
y = C1 - x^3
Como assumimos 1 - x^3neq0, a solução está definida em qualquer intervalo que não contenha a raiz de 1 - x^3=0, isto é, x=1. Por exemplo, podemos escolher
x<1 ou x>1
como intervalo de definição da solução geral.
Resposta
A solução geral é
y = C1 - x^3,
definida em qualquer intervalo que não contenha x=1 (por exemplo, (-infty,1) ou (1,infty)).