Analisar a convergência das seguintes séries alternadas. Se são convergentes verificar se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2+1n^3+1.

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1n^2+1n^3+1.
O conteúdo aqui é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.

Passo 2

Definimos
an = n^2+1n^3+1
Note que para todo n>=1, an>0. Além disso,
limntoinftyan = limntoinftyn^2+1n^3+1 = limntoinfty1+tfrac1n^2n+tfrac1n^2 =0

Passo 3

Para aplicar o critério de Leibniz precisamos também que (an) seja decrescente a partir de certo ponto. Considere
f(x)=x^2+1x^3+1, x>=1
Calculando a derivada,
f'(x) =2x(x^3+1)-3x^2(x^2+1)(x^3+1)^2 =-l(x^4+3x^2-2xr)(x^3+1)^2
Para x>=1 temos x^4+3x^2-2x>0, logo f'(x)<0. Isso implica an+1<an para todo n>=1.

Passo 4

Como (an) é positiva, decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz a série
sumn=1^infty(-1)^n+1an
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumn=1^inftyan =sumn=1^inftyn^2+1n^3+1
Como para n grande
tfracn^2+1n^3+1simtfrac1n
e sum1/n diverge, por comparação a série de termos positivos também diverge. Logo não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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