Analisar a convergência das seguintes séries alternadas. Se são convergentes verificar se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada
.
O conteúdo aqui é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.
O conteúdo aqui é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.
Passo 2
Definimos
Note que para todo
,
. Além disso,
Passo 3
Para aplicar o critério de Leibniz precisamos também que
seja decrescente a partir de certo ponto. Considere
Calculando a derivada,
Para
temos
, logo
. Isso implica
para todo
.
Passo 4
Como
é positiva, decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz a série
converge.
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Como para
grande
e diverge, por comparação a série de termos positivos também diverge. Logo não há convergência absoluta.
e
Resposta
A série converge condicionalmente.