Resolva as equações diferenciais exatas:
xy raizx^2+y^2 d x-x^2y^2 raizx^2+y^2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO na forma exata
xyraizx^2+y^2,dx ;-;x^2y^2raizx^2+y^2,dy ;=;0
ou seja, identificar
M(x,y)=xyraizx^2+y^2 e N(x,y)=-x^2y^2raizx^2+y^2
Precisamos achar um fator integrante mu(x,y) que torne a equação exata ou simplifique sua resolução.

Passo 2

Observando a estrutura, multiplicamos ambos os lados por
mu(x,y)=y^2raizx^2+y^2x
Então
mu M,dx + mu N,dy =y^2raizx^2+y^2xcdotxyraizx^2+y^2,dx ;-; y^2raizx^2+y^2xcdotx^2y^2raizx^2+y^2,dy = y,dx ;-; x,dy =0

Passo 3

A equação simplificada
y,dx - x,dy = 0
pode ser escrita como
dydx = yx,
que é uma EDO de variáveis separáveis.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
integral 1y,dy = integral 1x,dx Longrightarrow ln|y| = ln|x| + C
Isso dá
lnl|yxr| = C Longrightarrow yx = K,
onde K=e^C é constante arbitrária.

Resposta

y = C,x,
com C constante de integração.

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