Resolva as equações diferenciais exatas:
(3 x^2 y-2 y^3+3) d x+(x^3-6 x y^2+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(3x^2y - 2y^3 + 3r),dx + l(x^3 - 6xy^2 + 2yr),dy = 0
O método é identificar M(x,y)=3x^2y - 2y^3 + 3 e N(x,y)=x^3 - 6xy^2 + 2y, verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais
partial Mpartial y =3x^2-6y^2, partial Npartial x =3x^2-6y^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
phi(x,y) =integrall(3x^2y - 2y^3 + 3r),dx = yx^3 -2y^3x +3x + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Agora exigimos phiy=N. Diferenciando em y:
partial phipartial y = x^3 -6xy^2 + h'(y) stackrel!= x^3 -6xy^2 +2y
Logo h'(y)=2y, de onde h(y)=y^2 (constante absorbedora em C).

Passo 5

A função potencial completa é
phi(x,y)=yx^3-2y^3x+3x+y^2,
e a solução geral implícita é phi(x,y)=C.

Resposta

x^3y ;-;2x y^3;+;3x;+;y^2=C

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