Calcule sigma^prime(t0) e esboce o gráfico de sigma(t) juntamente com o vetor tangente sigma^prime(t0) :
sigma(t)=2 sen(t) i+j+2 cos (t) k ; t0=pi2

Passo 1

Beleza, o enunciado está pedindo pra gente calcular a derivada da função vetorial sigma(t) no ponto t0 = pi2. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente como derivar funções que têm componentes nos vetores i, j e k. Pra resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação para cada componente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função sigma(t) em relação a t. A função dada é:
sigma(t) = 2 sin(t) i + j + 2 cos(t) k
Para encontrar sigma'(t), derivamos cada componente separadamente:
  • A derivada de 2 sin(t) é 2 cos(t).
  • A derivada de j é 0, já que j é constante.
  • A derivada de 2 cos(t) é -2 sin(t).
Então, a derivada fica:
sigma'(t) = 2 cos(t) i + 0 j - 2 sin(t) k

Passo 3

Agora, vamos calcular sigma'(t0) onde t0 = pi2. Substituímos t por pi2 na expressão da derivada:
sigma'( pi2 ) = 2 cos( pi2 ) i - 2 sin( pi2 ) k
Sabemos que:
  • cos( pi2 ) = 0
  • sin( pi2 ) = 1
Portanto:
sigma'( pi2 ) = 2 cdot 0 cdot i - 2 cdot 1 cdot k = -2 k

Passo 4

Para esboçar o gráfico de sigma(t), imagine o caminho que a função percorre no espaço 3D. No ponto correspondente a t0 = pi2, temos o vetor tangente sigma'( pi2 ) = -2 k, que aponta na direção negativa do eixo k. Isso significa que, naquele ponto, a direção do movimento da curva é para baixo ao longo do eixo k.

Resposta

A derivada de sigma(t) no ponto t0 = pi2 é sigma'(pi2) = -2, k.

Exercícios relacionados