Ao analisar a distribuição do peso corporal de recém-nascidos do sexo masculino constatou-se que a probabilidade de um recém-nascido do sexo masculino, escolhido ao acaso, apresentar peso:
inferior a 3,0 kg é de 0,07
peso entre 2,7 kg e 3,2 kg é de 0,25
(a) Escolhidos, ao acaso, quatro recém-nascidos do sexo masculino:
(ii) qual a probabilidade de somente um deles ter peso entre 2,7 kg e 3,2 kg ? (resp: 0,422 )

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos descobrir a probabilidade de, ao escolher quatro recém-nascidos do sexo masculino ao acaso, exatamente um deles ter peso entre 2,7 kg e 3,2 kg. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que é útil quando estamos lidando com eventos que têm apenas dois resultados possíveis (como “sucesso” ou “fracasso”).

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a probabilidade de sucesso. Aqui, “sucesso” significa que o recém-nascido tem peso entre 2,7 kg e 3,2 kg. De acordo com o enunciado, essa probabilidade é de 0,25.

Passo 3

Também precisamos saber a probabilidade de fracasso, ou seja, a probabilidade de um recém-nascido não ter peso entre 2,7 kg e 3,2 kg. Como as probabilidades devem somar 1, temos:
1 - 0,25 = 0,75

Passo 4

Como estamos escolhendo quatro recém-nascidos e queremos que exatamente um tenha o peso desejado, usamos a fórmula da distribuição binomial:
P(X = k) = C(n, k) cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n = 4 $ (número total de ensaios)
  • $ k = 1 $ (número de sucessos desejados)
  • $ p = 0,25 $ (probabilidade de sucesso)

Passo 5

Vamos calcular o coeficiente binomial $ C(4, 1) $, que representa o número de maneiras de escolher 1 sucesso em 4 ensaios:
C(4, 1)

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula:
P(X = 1) = 4 cdot (0,25)^1 cdot (0,75)^3
Calculando as potências:
0,25^1 = 0,25 0,75^3 = 0,421875
Multiplicando tudo:
4 cdot 0,25 cdot 0,421875 = 0,422

Resposta

A probabilidade de somente um dos quatro recém-nascidos ter peso entre 2,7 kg e 3,2 kg é de 0,422.

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