Ao analisar a distribuição do peso corporal de recém-nascidos do sexo masculino constatou-se que a probabilidade de um recém-nascido do sexo masculino, escolhido ao acaso, apresentar peso:
inferior a 3,0 kg é de 0,07
peso entre 2,7 kg e 3,2 kg é de 0,25
(a) Escolhidos, ao acaso, quatro recém-nascidos do sexo masculino:
(iii) Qual a probabilidade de no máximo 2 deles terem peso entre 2,7 kg e 3,2 kg ? (resp: 0,95)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem a distribuição de peso de recém-nascidos do sexo masculino e sabe as probabilidades de eles pesarem menos de 3,0 kg ou entre 2,7 kg e 3,2 kg. A parte que vamos resolver é: se a gente escolher quatro desses recém-nascidos ao acaso, qual a probabilidade de no máximo 2 deles pesarem entre 2,7 kg e 3,2 kg? Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima pra calcular probabilidades de eventos com dois resultados possíveis (neste caso, “pessoa entre 2,7 kg e 3,2 kg” ou “não pesa nesse intervalo”).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da Distribuição Binomial que vamos usar:
  • n = 4 (número de recém-nascidos escolhidos)
  • p = 0,25 (probabilidade de um recém-nascido pesar entre 2,7 kg e 3,2 kg)
  • k = 0, 1, 2 (nós queremos no máximo 2, então calculamos para 0, 1 e 2)

Passo 3

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos ter k sucessos em n tentativas.
  • p^k é a probabilidade de ter exatamente k sucessos.
  • (1 - p)^n - k é a probabilidade de ter os outros (n - k) fracassos.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade para cada caso:
  1. P(X = 0):
P(X = 0) = binom40 cdot 0,25^0 cdot 0,75^4 = 1 cdot 1 cdot 0,3164 = 0,3164
  1. P(X = 1):
P(X = 1) = binom41 cdot 0,25^1 cdot 0,75^3 = 4 cdot 0,25 cdot 0,4219 = 0,4219
  1. P(X = 2):
P(X = 2) = binom42 cdot 0,25^2 cdot 0,75^2 = 6 cdot 0,0625 cdot 0,5625 = 0,2109

Passo 5

Agora, somamos as probabilidades que queremos:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,3164 + 0,4219 + 0,2109 = 0,9492
Arredondando, fica aproximadamente 0,95.

Resposta

A probabilidade de no máximo 2 dos quatro recém-nascidos terem peso entre 2,7 kg e 3,2 kg é 0,95.

Exercícios relacionados