ao analisar o escoamento laminar em um canal em superfície livre e tentar reproduzir o escoamento em laboratório, afirmou que tanto o número de Reynolds quanto o número de Froude teriam que ser iguais entre o modelo e o protótipo, tendo em vista que tanto a viscosidade (escoamento laminar) quanto a inclinação do canal (força motriz do escoamento) seriam importantes para reproduzir corretamente ofenômeno. Sabendo que a escala utilizada no laboratório é 1:50, determine:
l determine: Rey =rho V Lmu e F r^2=V^2g L
Estime uma expressão para o fluxo volumétrico em uma seção transversal (Q), sabendo que Q=f(g, h, theta, rho, mu ), onde g é a intensidade da aceleração gravitacional, h é a profundidade, theta é a inclinação do canal, rho é a massa específica do líquido e mu é a viscosidade dinâmica. Admita que os grupos adimensionais são proporcionais (ou seja, o gráfico Pi1 times Pi2 é uma reta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como reproduzir o escoamento laminar de um canal em laboratório usando uma escala 1:50. Para isso, precisamos igualar os números de Reynolds e de Froude entre o modelo (laboratório) e o protótipo (real). A matéria envolve mecânica dos fluidos, especificamente escoamentos laminares e dimensionamento de modelos. Vamos precisar das fórmulas dos números de Reynolds ( Re) e Froude ( Fr), além de entender como relacionar o fluxo volumétrico Q com as variáveis dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os números de Reynolds e de Froude.
  • Número de Reynolds ( Re): É uma quantidade adimensional que relaciona as forças inerciais às forças viscosas no fluxo. A fórmula é:
    Re = rho V Lmu
    Onde:
    • rho = massa específica do líquido
    • V = velocidade do fluido
    • L = comprimento característico
    • mu = viscosidade dinâmica
  • Número de Froude ( Fr): Relaciona as forças inerciais às forças gravitacionais. A fórmula é:
    Fr = Vraizg L
    Ou, como no enunciado:
    Fr^2 = V^2g L
    Onde:
    • g = aceleração da gravidade

Passo 3

Como a escala é 1:50, isso significa que todas as dimensões no laboratório são 1/50 das do protótipo. Vamos chamar a escala de comprimento $ \lambda = \frac{1}{50} $.
Para manter os números adimensionais iguais entre modelo e protótipo, precisamos que:
lambda = 150 ó
Remodelo = Reprotótipo ó

Passo 4

Vamos começar igualando o número de Reynolds:
rho Vm Lmmum = rho Vp Lpmup
Como lambda = LmLp = 150, podemos substituir Lm = lambda Lp.
Além disso, assumimos que a viscosidade mu permanece constante entre modelo e protótipo, então mum = mup = mu.
Então:
rho Vm lambda Lpmu = rho Vp Lpmu
Cancelando termos comuns:
Vm lambda = Vp
Portanto:
Vm = Vplambda = 50 Vp

Passo 5

Agora, vamos igualar o número de Froude:
Vm^2g Lm = Vp^2g Lp
Substituindo Lm = lambda Lp e Vm = Vplambda:
(Vplambda)^2g lambda Lp = Vp^2g Lp
Simplificando:
Vp^2lambda^2 g lambda Lp = Vp^2g Lp
Vp^2lambda^3 g Lp = Vp^2g Lp
Isso implica que lambda^3 = 1, o que não é verdadeiro a menos que lambda = 1. Isso indica que, na verdade, para manter ambos os números adimensionais iguais, pode ser necessário ajustar outras variáveis ou considerar que isso pode não ser totalmente possível devido à interação das escalas.

Passo 6

Agora, vamos estimar uma expressão para o fluxo volumétrico Q. Sabemos que Q = f(g, h, theta, rho, mu) e que os grupos adimensionais são proporcionais, ou seja, podemos usar a análise de Buckingham Pi para relacionar essas variáveis.
Assumindo que Q depende de g, h, theta, rho, e mu, vamos tentar encontrar uma relação:
Q = k cdot g^a cdot h^b cdot theta^c cdot rho^d cdot mu^e
Onde k é uma constante adimensional e a, b, c, d, e são expoentes a serem determinados.

Passo 7

Para encontrar os expoentes, igualamos as dimensões de ambos os lados. O fluxo volumétrico Q tem dimensão [L^3 T^-1].
As dimensões das variáveis são:
  • g: [L T^-2]
  • h: [L]
  • theta: é adimensional (pendente)
  • rho: [M L^-3]
  • mu: [M L^-1 T^-1]
Então:
[L^3 T^-1] = [L T^-2]^a cdot [L]^b cdot [1]^c cdot [M L^-3]^d cdot [M L^-1 T^-1]^e
Resolvendo as dimensões:
L^3 T^-1 = L^a T^-2a cdot L^b cdot M^d L^-3d cdot M^e L^-e T^-e
Agrupando termos:
L^a + b - 3d - e cdot M^d + e cdot T^-2a - e = L^3 T^-1
Igualando os expoentes:
Para L:
a + b - 3d - e = 3
Para M:
d + e = 0
Para T:
-2a - e = -1

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
  1. d + e = 0 Rightarrow e = -d
  2. Substituindo e = -d na terceira equação:
-2a - (-d) = -1 Rightarrow -2a + d = -1 Rightarrow d = 2a -1
  1. Substituindo e = -d e d = 2a -1 na primeira equação:
a + b - 3(2a -1) - (-2a +1) = 3
a + b -6a +3 +2a -1 = 3
(-3a) + b +2 = 3 Rightarrow -3a + b = 1
Vamos escolher a = 1 para simplificar:
-3(1) + b = 1 Rightarrow b = 4
Então:
a = 1, b = 4, d = 2(1) -1 =1, e = -1

Passo 9

Com os expoentes encontrados, a expressão para Q fica:
Q = k cdot g^1 cdot h^4 cdot theta^0 cdot rho^1 cdot mu^-1
Como theta^0 = 1, simplificamos para:
Q = k cdot g h^4 rhomu

Passo 10

Como os grupos adimensionais são proporcionais e considerando que estamos buscando uma expressão funcional básica, podemos adotar k = 1 para simplificação. Assim, a expressão estimada para o fluxo volumétrico é:
Q = g rho h^4mu

Resposta

A expressão estimada para o fluxo volumétrico é:
Q = g rho h^4mu

Exercícios relacionados