ao analisar o escoamento laminar em um canal em superfície livre e tentar reproduzir o escoamento em laboratório, afirmou que tanto o número de Reynolds quanto o número de Froude teriam que ser iguais entre o modelo e o protótipo, tendo em vista que tanto a viscosidade (escoamento laminar) quanto a inclinação do canal (força motriz do escoamento) seriam importantes para reproduzir corretamente ofenômeno. Sabendo que a escala utilizada no laboratório é 1:50, determine:
Estime uma expressão para o fluxo volumétrico em uma seção transversal
, sabendo que
,
), onde
é a intensidade da aceleração gravitacional,
é a profundidade,
é a inclinação do canal,
é a massa específica do líquido e
é a viscosidade dinâmica. Admita que os grupos adimensionais são proporcionais (ou seja, o gráfico
é uma reta).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como reproduzir o escoamento laminar de um canal em laboratório usando uma escala 1:50. Para isso, precisamos igualar os números de Reynolds e de Froude entre o modelo (laboratório) e o protótipo (real). A matéria envolve mecânica dos fluidos, especificamente escoamentos laminares e dimensionamento de modelos. Vamos precisar das fórmulas dos números de Reynolds (
) e Froude (
), além de entender como relacionar o fluxo volumétrico
com as variáveis dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os números de Reynolds e de Froude.
-
Número de Reynolds (
): É uma quantidade adimensional que relaciona as forças inerciais às forças viscosas no fluxo. A fórmula é: Onde:-
= massa específica do líquido -
= velocidade do fluido -
= comprimento característico -
= viscosidade dinâmica
-
-
Número de Froude (
): Relaciona as forças inerciais às forças gravitacionais. A fórmula é: Ou, como no enunciado:Onde:-
= aceleração da gravidade
-
Passo 3
Como a escala é 1:50, isso significa que todas as dimensões no laboratório são 1/50 das do protótipo. Vamos chamar a escala de comprimento $ \lambda = \frac{1}{50} $.
Para manter os números adimensionais iguais entre modelo e protótipo, precisamos que:
Passo 4
Vamos começar igualando o número de Reynolds:
Como
, podemos substituir
.
Além disso, assumimos que a viscosidade
permanece constante entre modelo e protótipo, então
.
Então:
Cancelando termos comuns:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos igualar o número de Froude:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Isso implica que
, o que não é verdadeiro a menos que
. Isso indica que, na verdade, para manter ambos os números adimensionais iguais, pode ser necessário ajustar outras variáveis ou considerar que isso pode não ser totalmente possível devido à interação das escalas.
Passo 6
Agora, vamos estimar uma expressão para o fluxo volumétrico
. Sabemos que
e que os grupos adimensionais são proporcionais, ou seja, podemos usar a análise de Buckingham Pi para relacionar essas variáveis.
Assumindo que
depende de
,
,
,
, e
, vamos tentar encontrar uma relação:
Onde
é uma constante adimensional e
,
,
,
,
são expoentes a serem determinados.
Passo 7
Para encontrar os expoentes, igualamos as dimensões de ambos os lados. O fluxo volumétrico
tem dimensão
.
As dimensões das variáveis são:
-
: -
: -
: é adimensional (pendente) -
: -
:
Então:
Resolvendo as dimensões:
Agrupando termos:
Igualando os expoentes:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
-
-
Substituindo
na terceira equação:
- Substituindo
e na primeira equação:
Vamos escolher
para simplificar:
Então:
Passo 9
Com os expoentes encontrados, a expressão para
fica:
Como
, simplificamos para:
Passo 10
Como os grupos adimensionais são proporcionais e considerando que estamos buscando uma expressão funcional básica, podemos adotar
para simplificação. Assim, a expressão estimada para o fluxo volumétrico é:
Resposta
A expressão estimada para o fluxo volumétrico é: