ao analisar o escoamento laminar em um canal em superfície livre e tentar reproduzir o escoamento em laboratório, afirmou que tanto o número de Reynolds quanto o número de Froude teriam que ser iguais entre o modelo e o protótipo, tendo em vista que tanto a viscosidade (escoamento laminar) quanto a inclinação do canal (força motriz do escoamento) seriam importantes para reproduzir corretamente ofenômeno. Sabendo que a escala utilizada no laboratório é 1:50, determine:
l determine: Rey =rho V Lmu e F r^2=V^2g L
Assumindo que a afirmação do engenheiro é correta, é possível que o ensaio no laboratório seja feito utilizando o mesmo líquido do protótipo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A situação é a seguinte: temos um engenheiro que quer estudar o escoamento laminar em um canal usando um modelo em laboratório. Ele usou uma escala de 1:50, ou seja, o modelo é 50 vezes menor que o protótipo real. Para que os resultados do modelo reflitam bem o que acontece no protótipo, ele acha que os números de Reynolds (Re) e de Froude ao quadrado (Fr²) precisam ser iguais nos dois casos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses números adimensionais e como eles se relacionam com a escala.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os números de Reynolds e de Froude:
  • Número de Reynolds (Re): É uma medida que compara as forças de inércia com as forças viscosas em um fluido. A fórmula é:
    Re = rho V Lmu
    Onde:
    • rho é a densidade do fluido,
    • V é a velocidade do fluxo,
    • L é um comprimento característico (como o comprimento do canal),
    • mu é a viscosidade dinâmica do fluido.
  • Número de Froude ao quadrado (Fr²): Compara as forças de inércia com as forças gravitacionais. A fórmula é:
    Fr^2 = V^2g L
    Onde:
    • V é a velocidade do fluxo,
    • g é a aceleração da gravidade,
    • L é um comprimento característico.
Esses números são importantes porque, ao manter Re e Fr^2 iguais entre o modelo e o protótipo, garantimos que as proporções das forças envolvidas no escoamento sejam as mesmas, o que significa que o comportamento do fluxo será similar nos dois casos.

Passo 3

Agora, vamos considerar a escala do modelo em relação ao protótipo. A escala é 1:50, o que significa que todas as dimensões lineares do modelo são 1/50 das do protótipo. Vamos usar essa informação para relacionar as grandezas entre modelo e protótipo.
Vamos chamar os parâmetros do protótipo com subíndice “p” e os do modelo com “m”. Assim:
LmLp = 150
Como a dimensão é linear, qualquer comprimento no modelo é 1/50 do comprimento no protótipo.

Passo 4

Queremos que Rem = Rep e Fr^2m = Fr^2p.
Vamos expressar Re e Fr^2 para o modelo e para o protótipo:
Para o protótipo:
Rep = rhop Vp Lpmup
Fr^2p = Vp^2g Lp
Para o modelo:
Rem = rhom Vm Lmmum
Fr^2m = Vm^2g Lm
Queremos que Rem = Rep e Fr^2m = Fr^2p.

Passo 5

Vamos relacionar as grandezas do modelo com as do protótipo usando a escala 1:50.
Sabemos que:
Lm = Lp50
Vamos assumir que a aceleração da gravidade g é a mesma no modelo e no protótipo, pois não depende da escala.

Passo 6

Primeiro, igualando os números de Froude ao quadrado:
Fr^2m = Fr^2p Rightarrow Vm^2g Lm = Vp^2g Lp
Simplificando g dos dois lados:
Vm^2Lm = Vp^2Lp
Substituindo Lm = Lp50:
Vm^2Lp50 = Vp^2Lp
Multiplicando ambos os lados por Lp:
50 Vm^2 = Vp^2
Resolvendo para Vm:
Vm = Vpraiz50 approx Vp7,07
Então, a velocidade no modelo precisa ser aproximadamente 1/7 da velocidade no protótipo.

Passo 7

Agora, vamos igualar os números de Reynolds:
Rem = Rep Rightarrow rhom Vm Lmmum = rhop Vp Lpmup
Substituindo Lm = Lp50 e Vm = Vpraiz50:
rhom (Vpraiz50) (Lp50)mum = rhop Vp Lpmup
Simplificando:
rhom Vp Lp50 raiz50 mum = rhop Vp Lpmup
Cancelando Vp Lp dos dois lados:
rhom50 raiz50 mum = rhopmup
Resolvendo para mum:
mum = rhom mup50 raiz50 rhop
Se assumirmos que estamos usando o mesmo líquido no modelo e no protótipo, então rhom = rhop e mum = mup. Substituindo:
mup = rhop mup50 raiz50 rhop Rightarrow 1 = 150 raiz50
O que não é verdade, já que 50 raiz50 é um número muito maior que 1.

Passo 8

Isso significa que, para manter Rem = Rep e Fr^2m = Fr^2p com a escala 1:50, a viscosidade do líquido no modelo precisaria ser diferente da viscosidade no protótipo. Ou seja, não podemos usar o mesmo líquido nos dois casos se quisermos manter os números de Reynolds e de Froude ao quadrado iguais.

Resposta

Não, não é possível realizar o ensaio no laboratório utilizando o mesmo líquido do protótipo. Isso porque, para manter os números de Reynolds e de Froude ao quadrado iguais entre o modelo e o protótipo com a escala 1:50, a viscosidade do líquido no modelo precisaria ser diferente da viscosidade no protótipo. Assim, seria necessário usar líquidos com viscosidades ajustadas para que os fenômenos observados no modelo reflitam com precisão os ocorridos no protótipo real.

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