ao analisar o escoamento laminar em um canal em superfície livre e tentar reproduzir o escoamento em laboratório, afirmou que tanto o número de Reynolds quanto o número de Froude teriam que ser iguais entre o modelo e o protótipo, tendo em vista que tanto a viscosidade (escoamento laminar) quanto a inclinação do canal (força motriz do escoamento) seriam importantes para reproduzir corretamente ofenômeno. Sabendo que a escala utilizada no laboratório é 1:50, determine:
l determine: Rey =rho V Lmu e F r^2=V^2g L

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre escoamento laminar em um canal com superfície livre. A gente precisa entender como manter o comportamento do escoamento igual no modelo de laboratório e no protótipo real. Para isso, vamos usar dois números adimensionais importantes: o número de Reynolds (Re) e o número de Froude (Fr). A escala usada no laboratório é 1:50, ou seja, o modelo é 1/50 do tamanho real. Vamos precisar das fórmulas do Re e do Fr para encontrar como as velocidades e outros parâmetros se relacionam entre o modelo e o protótipo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são esses números. O número de Reynolds (Re) nos ajuda a saber se o escoamento é laminar ou turbulento. Ele é calculado por:
Re = rho V Lmu
Onde:
  • rho é a densidade do fluido,
  • V é a velocidade do fluido,
  • L é uma dimensão característica (como o comprimento do canal),
  • mu é a viscosidade dinâmica do fluido.
Já o número de Froude (Fr) relaciona a velocidade do fluido com a gravidade e a dimensão característica:
Fr = Vraizg L
E ao elevar ao quadrado, temos:
Fr^2 = V^2g L

Passo 3

Como queremos que o número de Reynolds e o número de Froude sejam iguais no modelo e no protótipo, precisamos garantir que:
Remodelo = Reprotótipo ó
Frmodelo = Frprotótipo ó
Sabendo que a escala linear é 1:50 ( lambda = 150), isso significa que todas as dimensões lineares no modelo são 1/50 das do protótipo.

Passo 4

Vamos relacionar as variáveis entre o modelo e o protótipo utilizando a escala lambda.
Para a velocidade, vamos chamar Vm a velocidade no modelo e Vp a velocidade no protótipo. A relação entre elas pode ser encontrada mantendo o número de Reynolds igual:
rho Vm Lmmu = rho Vp Lpmu
Como Lp = Lmlambda, substituímos:
Vm = lambda Vp
Então, a velocidade no modelo é a escala multiplicada pela velocidade no protótipo.

Passo 5

Agora, vamos garantir que o número de Froude também seja igual. Usando a relação de velocidades que encontramos:
Frm = Vmraizg Lm = lambda Vpraizg lambda Lp = lambda Vpraizlambda g Lp = lambda Vpraizlambda raizg Lp = raizlambda Vpraizg Lp = raizlambda Frp
Para que Frm = Frp, precisamos que:
raizlambda Frp = Frp implies raizlambda = 1 implies lambda = 1
Mas como nossa escala é lambda = 150, isso indica que para manter Frm = Frp, precisamos ajustar outros parâmetros, como a gravidade efetiva no modelo ou a dimensão característica.

Passo 6

Considerando que geralmente mantemos a gravidade igual ( gm = gp), a única forma de manter o número de Froude igual é ajustando a velocidade. Da relação anterior:
Frm = raizlambda Frp
Para Frm = Frp, já vimos que lambda precisa ser 1, o que não é o caso. Portanto, na prática, ao usar uma escala lambda = 150, não conseguimos manter os números de Reynolds e Froude iguais simultaneamente sem ajustar outros parâmetros.

Resposta

Para uma escala de 1:50, a velocidade no modelo deve ser 150 vezes a velocidade do protótipo para manter o número de Reynolds igual. No entanto, devido à diferença na escala, não é possível manter o número de Froude igual sem ajustar outros parâmetros adicionais.

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