ao analisar o escoamento laminar em um canal em superfície livre e tentar reproduzir o escoamento em laboratório, afirmou que tanto o número de Reynolds quanto o número de Froude teriam que ser iguais entre o modelo e o protótipo, tendo em vista que tanto a viscosidade (escoamento laminar) quanto a inclinação do canal (força motriz do escoamento) seriam importantes para reproduzir corretamente ofenômeno. Sabendo que a escala utilizada no laboratório é 1:50, determine:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre escoamento laminar em um canal com superfície livre. A gente precisa entender como manter o comportamento do escoamento igual no modelo de laboratório e no protótipo real. Para isso, vamos usar dois números adimensionais importantes: o número de Reynolds (Re) e o número de Froude (Fr). A escala usada no laboratório é 1:50, ou seja, o modelo é 1/50 do tamanho real. Vamos precisar das fórmulas do Re e do Fr para encontrar como as velocidades e outros parâmetros se relacionam entre o modelo e o protótipo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são esses números. O número de Reynolds (Re) nos ajuda a saber se o escoamento é laminar ou turbulento. Ele é calculado por:
Onde:
-
é a densidade do fluido, -
é a velocidade do fluido, -
é uma dimensão característica (como o comprimento do canal), -
é a viscosidade dinâmica do fluido.
Já o número de Froude (Fr) relaciona a velocidade do fluido com a gravidade e a dimensão característica:
E ao elevar ao quadrado, temos:
Passo 3
Como queremos que o número de Reynolds e o número de Froude sejam iguais no modelo e no protótipo, precisamos garantir que:
Sabendo que a escala linear é 1:50 (
), isso significa que todas as dimensões lineares no modelo são 1/50 das do protótipo.
Passo 4
Vamos relacionar as variáveis entre o modelo e o protótipo utilizando a escala
.
Para a velocidade, vamos chamar
a velocidade no modelo e
a velocidade no protótipo. A relação entre elas pode ser encontrada mantendo o número de Reynolds igual:
Como
, substituímos:
Então, a velocidade no modelo é a escala multiplicada pela velocidade no protótipo.
Passo 5
Agora, vamos garantir que o número de Froude também seja igual. Usando a relação de velocidades que encontramos:
Para que
, precisamos que:
Mas como nossa escala é
, isso indica que para manter
, precisamos ajustar outros parâmetros, como a gravidade efetiva no modelo ou a dimensão característica.
Passo 6
Considerando que geralmente mantemos a gravidade igual (
), a única forma de manter o número de Froude igual é ajustando a velocidade. Da relação anterior:
Para
, já vimos que
precisa ser 1, o que não é o caso. Portanto, na prática, ao usar uma escala
, não conseguimos manter os números de Reynolds e Froude iguais simultaneamente sem ajustar outros parâmetros.
Resposta
Para uma escala de 1:50, a velocidade no modelo deve ser
vezes a velocidade do protótipo para manter o número de Reynolds igual. No entanto, devido à diferença na escala, não é possível manter o número de Froude igual sem ajustar outros parâmetros adicionais.