Analisar a veracidade das seguintes afirmações:
(3) A função
tem dois pontos de inflexão.
(3) A função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente analise a veracidade da afirmação: “A função tem dois pontos de inflexão.”
Informações relevantes: a função é um polinômio definido para todo . A pergunta é se existem exatamente dois pontos de inflexão (pontos onde a concavidade da curva muda).
Informações relevantes: a função é um polinômio definido para todo
Passo 2
O que é um ponto de inflexão e como eu procuro um na prova (mini-aula): um ponto de inflexão é um ponto do gráfico onde a concavidade muda de côncava para convexa ou vice‑versa. Para funções suficientemente suaves (como polinômios), usamos a segunda derivada
:
- Se
e muda de sinal em , então é abscissa de um ponto de inflexão. - Se
não há inflexão em .
Polinômios têm derivadas contínuas, então basta achar zeros dee verificar troca de sinal.
Passo 3
Calcular a primeira derivada passo a passo (regras usadas: derivada de
é
, derivada de soma é soma das derivadas):
Posso fatorar para ver estrutura:
Essa fatoração confirma as raízes da derivada (pontos críticos), embora não sejam diretamente os pontos de inflexão — só estamos organizando.
Passo 4
Calcular a segunda derivada (derivar
):
Para simplificar a resolução da equação
, divido por
:
Passo 5
Achar os zeros de
(usar fórmula de Bhaskara para
):
A fórmula dá
A fórmula dá
Simplificando
,
Então as duas soluções reais são
Valores aproximados (para intuição):
e
.
Passo 6
Verificar mudança de sinal de
em cada raiz (escolho pontos de teste em cada intervalo e calculo
de forma direta):
- Para
, por exemplo :
logo
(côncava para cima) à esquerda de
.
- Para
, por exemplo :
logo
(côncava para baixo) entre as raízes.
- Para
, por exemplo :
logo
(côncava para cima) à direita de
.
Como
muda de
para
em
e de
para
em
, há mudança de concavidade em ambas as abscissas. Portanto cada uma é abscissa de um ponto de inflexão.
Passo 7
Conclusão e observações finais:
é um polinômio quadrático com duas raízes reais e simples; em cada raiz ocorre troca de sinal, logo a função tem exatamente dois pontos de inflexão. Se quiser as coordenadas aproximadas dos pontos de inflexão, podemos avaliar
em cada raiz: para
temos
e para
temos
. Isso confirma dois pontos distintos no plano.
Resposta
Verdadeiro.