Analisar a veracidade das seguintes afirmações:
(3) A função f(x)=x^{4}-4 x^{3}-8 x^{2}+2 tem dois pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+2 e pede que a gente analise a veracidade da afirmação: “A função tem dois pontos de inflexão.”
Informações relevantes: a função é um polinômio definido para todo x. A pergunta é se existem exatamente dois pontos de inflexão (pontos onde a concavidade da curva muda).

Passo 2

O que é um ponto de inflexão e como eu procuro um na prova (mini-aula): um ponto de inflexão é um ponto do gráfico onde a concavidade muda de côncava para convexa ou vice‑versa. Para funções suficientemente suaves (como polinômios), usamos a segunda derivada \,f''(x)\,:
  • Se \,f''(x_0)=0 e \,f'' muda de sinal em x_0, então x_0 é abscissa de um ponto de inflexão.
  • Se \,f''(x_0)\neq 0 não há inflexão em x_0.
    Polinômios têm derivadas contínuas, então basta achar zeros de \,f'' e verificar troca de sinal.

Passo 3

Calcular a primeira derivada passo a passo (regras usadas: derivada de x^n é n x^{n-1}, derivada de soma é soma das derivadas):
f(x)=x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+2
f'(x)=4x^{3}-12x^{2}-16x.
Posso fatorar para ver estrutura:
f'(x)=4x\big(x^{2}-3x-4\big)=4x(x-4)(x+1).
Essa fatoração confirma as raízes da derivada (pontos críticos), embora não sejam diretamente os pontos de inflexão — só estamos organizando.

Passo 4

Calcular a segunda derivada (derivar f'(x)):
f''(x)=12x^{2}-24x-16.
Para simplificar a resolução da equação f''(x)=0, divido por 4:
f''(x)=4\big(3x^{2}-6x-4\big).

Passo 5

Achar os zeros de \,f'' (usar fórmula de Bhaskara para \,3x^{2}-6x-4=0):
A fórmula dá
x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^{2}-4\cdot3\cdot(-4)}}{2\cdot3} =\frac{6\pm\sqrt{36+48}}{6} =\frac{6\pm\sqrt{84}}{6}.
Simplificando \sqrt{84}=2\sqrt{21},
x=\frac{6\pm 2\sqrt{21}}{6}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{3}.
Então as duas soluções reais são
x_{1}=\frac{3-\sqrt{21}}{3}\quad\text{e}\quad x_{2}=\frac{3+\sqrt{21}}{3}.
Valores aproximados (para intuição): \,x_{1}\approx -0,5275 e \,x_{2}\approx 2,5275.

Passo 6

Verificar mudança de sinal de \,f'' em cada raiz (escolho pontos de teste em cada intervalo e calculo \,f'' de forma direta):
  • Para x<x_{1}, por exemplo x=-1:
f''(-1)=12(1)-24(-1)-16=12+24-16=20>0,
logo \,f''>0 (côncava para cima) à esquerda de x_{1}.
  • Para x_{1}<x<x_{2}, por exemplo x=0:
f''(0)=-16<0,
logo \,f''<0 (côncava para baixo) entre as raízes.
  • Para x>x_{2}, por exemplo x=3:
f''(3)=12\cdot9-24\cdot3-16=108-72-16=20>0,
logo \,f''>0 (côncava para cima) à direita de x_{2}.
Como \,f'' muda de + para - em x_{1} e de - para + em x_{2}, há mudança de concavidade em ambas as abscissas. Portanto cada uma é abscissa de um ponto de inflexão.

Passo 7

Conclusão e observações finais: f'' é um polinômio quadrático com duas raízes reais e simples; em cada raiz ocorre troca de sinal, logo a função tem exatamente dois pontos de inflexão. Se quiser as coordenadas aproximadas dos pontos de inflexão, podemos avaliar f em cada raiz: para \,x_{1}\approx -0,5275 temos f(x_{1})\approx 0,438 e para \,x_{2}\approx 2,5275 temos f(x_{2})\approx -72,805. Isso confirma dois pontos distintos no plano.

Resposta

Verdadeiro.

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