Ao analisarmos a solução para o poço quadrado finito, observamos que existe uma probabilidade não nula de encontrarmos um elétron com energia menor do que
fora do poço. Esse fato não tem análogo clássico, pois implicaria dizermos que aparentemente o elétron tem energia cinética negativa. Como isso pode ser explicado no caso da Mecânica Quântica?
Passo 1
O enunciado fala do poço de potencial quadrado finito, em que o el
-tron est’a confinado numa regi~ao de potencial zero (no interior do po\c{c}o) e encontra-se fora do po\c{c}o uma barreira de altura
. Quando a energia total do el
-tron satisfaz
, observamos pela solu\c{c}~ao da equa\c{c}~ao de Schr"odinger que a fun\c{c}~ao de onda n~ao se anula abruptamente na fronteira, mas continua com “ cauda”\ exponencial fora do po\c{c}o. Apesar de isso n~ao ter an’alogo cl’assico (pois implicaria energia cin’etica negativa), precisamos explicar por que em Mec^anica Qu^antica existe probabilidade n~ao nula de ach’a-lo nessa regi~ao.
Passo 2
Escrevemos a equa\c{c}~ao de Schr"odinger independente do tempo na regi~ao fora do po\c{c}o (onde
e
):
Reorganizando,
com
Passo 3
A solução geral dessa equação, para
maior que a borda do poço, é
Como a função de onda deve permanecer finita em
, tomamos
e ficamos com
isto é, uma “cauda” exponencial decrescente. Isso corresponde a um número de onda imaginário
, logo o “momento” quântico
também é imaginário.
Passo 4
Físicamente, essa penetração ocorre porque a partícula quântica é descrita por ondas e não por trajetórias. A “cauda” exponencial é um estado estacionário no qual a probabilidade de encontrar o elétron decai para longe do poço, mas não é zero. Não interpretamos essa solução como “energia cinética negativa”—o operador de energia cinética
aplicado a essa função de onda continua dando uma energia positiva em valor médio. Além disso, pelo princípio da incerteza de Heisenberg, confinar a partícula aumenta a incerteza de momento, o que permite penetração na região classically proibida.
Resposta
Em Mec^anica Qu^antica, a solu\c{c}~ao da equa\c{c}~ao de Schr"odinger em regime
gera uma fun\c{c}~ao de onda evanescente
fora do po\c{c}o, com
. Esse “ t’unel”\ qu^antico n~ao tem an’alogo cl’assico porque o el
-tron n~ao segue trajet’orias, mas sim ondas que podem penetrar em regi~oes proibidas sem precisar de energia cin’etica negativa. O efeito `e explicado pela natureza ondulat’oria da part’icula e pelo princ’ipio da incerteza, garantindo uma penetra\c{c}~ao evanescente mesmo quando
.