Ao analisarmos a solução para o poço quadrado finito, observamos que existe uma probabilidade não nula de encontrarmos um elétron com energia menor do que Vo fora do poço. Esse fato não tem análogo clássico, pois implicaria dizermos que aparentemente o elétron tem energia cinética negativa. Como isso pode ser explicado no caso da Mecânica Quântica?

Passo 1

O enunciado fala do poço de potencial quadrado finito, em que o el acutee-tron est’a confinado numa regi~ao de potencial zero (no interior do po\c{c}o) e encontra-se fora do po\c{c}o uma barreira de altura V0. Quando a energia total do el acutee-tron satisfaz E<V0, observamos pela solu\c{c}~ao da equa\c{c}~ao de Schr"odinger que a fun\c{c}~ao de onda n~ao se anula abruptamente na fronteira, mas continua com “ cauda”\ exponencial fora do po\c{c}o. Apesar de isso n~ao ter an’alogo cl’assico (pois implicaria energia cin’etica negativa), precisamos explicar por que em Mec^anica Qu^antica existe probabilidade n~ao nula de ach’a-lo nessa regi~ao.

Passo 2

Escrevemos a equa\c{c}~ao de Schr"odinger independente do tempo na regi~ao fora do po\c{c}o (onde V(x)=V0 e E<V0):
-hbar^22m,d^2psi(x)dx^2 + V0,psi(x) = E,psi(x)
Reorganizando,
d^2psidx^2 = 2mhbar^2,(V0-E),psi equiv kappa^2,psi,
com
kappa = raiz2m,(V0-E)hbar^2,

Passo 3

A solução geral dessa equação, para x maior que a borda do poço, é
psi(x)=A,e^-kappa x+B,e^+kappa x
Como a função de onda deve permanecer finita em xto+infty, tomamos B=0 e ficamos com
psi(x)=A,e^-kappa x,
isto é, uma “cauda” exponencial decrescente. Isso corresponde a um número de onda imaginário k=ikappa, logo o “momento” quântico p=hbar k também é imaginário.

Passo 4

Físicamente, essa penetração ocorre porque a partícula quântica é descrita por ondas e não por trajetórias. A “cauda” exponencial é um estado estacionário no qual a probabilidade de encontrar o elétron decai para longe do poço, mas não é zero. Não interpretamos essa solução como “energia cinética negativa”—o operador de energia cinética -tfrachbar^22m,d^2/dx^2 aplicado a essa função de onda continua dando uma energia positiva em valor médio. Além disso, pelo princípio da incerteza de Heisenberg, confinar a partícula aumenta a incerteza de momento, o que permite penetração na região classically proibida.

Resposta

Em Mec^anica Qu^antica, a solu\c{c}~ao da equa\c{c}~ao de Schr"odinger em regime E<V0 gera uma fun\c{c}~ao de onda evanescente psi(x)propto e^-kappa x fora do po\c{c}o, com kappa=raiz2m(V0-E)/hbar. Esse “ t’unel”\ qu^antico n~ao tem an’alogo cl’assico porque o el acutee-tron n~ao segue trajet’orias, mas sim ondas que podem penetrar em regi~oes proibidas sem precisar de energia cin’etica negativa. O efeito `e explicado pela natureza ondulat’oria da part’icula e pelo princ’ipio da incerteza, garantindo uma penetra\c{c}~ao evanescente mesmo quando E<V0.

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