Discuta qualitativamente como e por que aparece a quantização de energia para o caso de um poço quadrado infinito unidimensional.

Passo 1

O enunciado pede uma discussão qualitativa sobre a quantização de energia no poço quadrado infinito unidimensional. O conteúdo central é a resolução da equação de Schr"odinger estacionária, impondo condições de contorno que levam a ondas estacionárias. Vamos precisar da forma da equação de Schr"odinger livre dentro do poço, da solução geral em termos de seno e cosseno, e das condições de que a função de onda deve anular-se nas paredes.

Passo 2

Dentro do poço, 0<x<L, a partícula não sente potencial, logo a equação de Schr"odinger estacionária é
-hbar^22m,d^2psidx^2=E,psi
Fora do intervalo [0,L] o potencial é infinito, obrigando psi=0 nas fronteiras.

Passo 3

A solução geral da equação livre é
psi(x)=Asin(kx)+Bcos(kx). Impondo
psi(0)=0 obtemos B=0,
e impondo psi(L)=0 vem
sin(kL)=0, isto é
kL=npi, n=1,2,3,dots,
de onde
kn=npiL

Passo 4

A relação entre o número de onda e a energia é
En=hbar^2 kn^22m =n^2pi^2hbar^22mL^2
Isso mostra que E só pode assumir valores discretos enumerados por n.

Passo 5

Qualitativamente, como a partícula se comporta como uma onda de De Broglie, só cabem no poço ondas estacionárias que tenham um número inteiro de meios-comprimentos de onda entre 0 e L. Essa exigência de fronteiras quantiza o número de onda k e, consequentemente, a energia.

Passo 6

Além disso, não existe n=0, de modo que há uma energia mínima não nula ( E1), a chamada energia de ponto zero, reflexo do princípio da incerteza de Heisenberg: a partícula confinada não pode ter energia zero.

Resposta

A quantização de energia surge porque a função de onda deve satisfazer condições de contorno rígidas (valer zero nas paredes do poço), admitindo apenas ondas estacionárias com um número inteiro de meios-comprimentos de onda no intervalo. Isso fixa valores discretos de k e, via E=hbar^2k^2/(2m), gera níveis de energia Enpropto n^2. A existência de um nível fundamental não nulo (energia de ponto zero) resulta do confinamento e do caráter ondulatório da partícula.

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