Discuta qualitativamente como e por que aparece a quantização de energia para o caso de um poço quadrado infinito unidimensional.
Passo 1
O enunciado pede uma discussão qualitativa sobre a quantização de energia no poço quadrado infinito unidimensional. O conteúdo central é a resolução da equação de Schr"odinger estacionária, impondo condições de contorno que levam a ondas estacionárias. Vamos precisar da forma da equação de Schr"odinger livre dentro do poço, da solução geral em termos de seno e cosseno, e das condições de que a função de onda deve anular-se nas paredes.
Passo 2
Dentro do poço,
, a partícula não sente potencial, logo a equação de Schr"odinger estacionária é
Fora do intervalo
o potencial é infinito, obrigando
nas fronteiras.
Passo 3
A solução geral da equação livre é
. Impondo
obtemos
,
e impondo vem
, isto é
e impondo
de onde
Passo 4
A relação entre o número de onda e a energia é
Isso mostra que
só pode assumir valores discretos enumerados por
.
Passo 5
Qualitativamente, como a partícula se comporta como uma onda de De Broglie, só cabem no poço ondas estacionárias que tenham um número inteiro de meios-comprimentos de onda entre
e
. Essa exigência de fronteiras quantiza o número de onda
e, consequentemente, a energia.
Passo 6
Além disso, não existe
, de modo que há uma energia mínima não nula (
), a chamada energia de ponto zero, reflexo do princípio da incerteza de Heisenberg: a partícula confinada não pode ter energia zero.
Resposta
A quantização de energia surge porque a função de onda deve satisfazer condições de contorno rígidas (valer zero nas paredes do poço), admitindo apenas ondas estacionárias com um número inteiro de meios-comprimentos de onda no intervalo. Isso fixa valores discretos de
e, via
, gera níveis de energia
. A existência de um nível fundamental não nulo (energia de ponto zero) resulta do confinamento e do caráter ondulatório da partícula.