Analise as afirmações abaixo, assinale V para as verdadeiras, F para as falsas e justifique suas escolhas.
Temos
se, e somente se,
.
Temos
Passo 1
O enunciado pede que eu analise a afirmação abaixo, decida se é verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique:
Informações dadas extraídas do enunciado:
- Há uma igualdade envolvendo uma limite escrita como
. - Há outra igualdade envolvendo limite lateral à esquerda:
. - Deve-se decidir verdade/falsidade da equivalência lógica “se, e somente se” entre essas duas afirmações e justificar.
Passo 2
Interpretação e definição (passo didático): o que significa cada limite.
- A expressão usual e correta para um limite de
quando tende a um ponto é . Isso quer dizer, formalmente:
Explicando em palavras: ao nos aproximarmos de
(por valores
), os valores de
ficam arbitrariamente próximos de
.
- Limite lateral à esquerda:
significa:
Isto é, aproximando
de
vindo pela esquerda (valores
),
tende a
.
Passo 3
Observação sobre a notação do enunciado e o que a equivalência exige:
- A notação
está estranha: a forma padrão seria . Vou entender que o autor quer dizer . - A afirmação proposta diz que "
se, e somente se, ". Uma equivalência “se e somente se” significa que ambas implicações devem valer: - Se
então . - Se
então .
- Se
- Para que essa equivalência seja verdadeira para toda escolha de função e de pontos, teria de haver uma relação muito forte entre
, e (por exemplo, seria necessário no mínimo e , e além disso condições de existência do limite). O enunciado não impõe essas relações. Portanto a afirmação generalizada parece suspeita: em geral não é verdadeira.
Passo 4
Contraexemplo concreto que mostra que a afirmação é falsa (mostra que a equivalência não vale em geral).
Escolho uma função simples:
Escolho uma função simples:
- Para essa função, para qualquer ponto
vale
Logo a afirmação “
” é verdadeira se tomarmos
.
- Mas para qualquer ponto
a limite lateral à esquerda vale
e não
. Portanto a afirmação “
” é falsa para essa função.
Conclusão para esse contraexemplo: a hipótese (com
) é verdadeira, enquanto a conclusão
é falsa. Assim a implicação direta (1. acima) falha; portanto a equivalência “se e somente se” é falsa em geral.
Conclusão para esse contraexemplo: a hipótese
Passo 5
Outro contraexemplo para reforçar (mostrando que a implicação inversa também não precisa valer).
Defina
Defina
- Temos
- Mas escolhando
(por exemplo), observamos que é constante igual a numa vizinhança de , logo
Assim
é verdadeira enquanto, para
e
, a afirmação
é falsa. Logo a segunda implicação (2. acima) também não é garantida.]
Passo 6
Resumo didático da razão pela qual a equivalência é falsa:
- Limites em pontos diferentes e limites laterais são informações locais no ponto em questão. Não existe, sem hipóteses adicionais, nenhuma razão para que o fato "o limite em
existe e vale " implique que "o limite à esquerda em vale ". São afirmações sobre comportamentos de em pontos possivelmente distintos. - Para que a equivalência fosse verdadeira seria necessário, no mínimo, que
e e ainda outras condições (por exemplo existência do limite em torno do ponto). Mesmo com e a afirmação “se e somente se” exige que o limite existindo no sentido bilateral seja equivalente ao limite lateral esquerdo igual a ; isso só é verdade se o limite bilateral existir e for (ou seja, é uma consequência óbvia, não uma equivalência universal sem hipóteses).
Resposta
F