Analise as afirmações abaixo, assinale V para as verdadeiras, F para as falsas e justifique suas escolhas.
Temos \lim _{v=u} f(x)=L se, e somente se, \lim _{x \rightarrow w^{-}} f(x)=1.

Passo 1

O enunciado pede que eu analise a afirmação abaixo, decida se é verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique:
\text{Temos }\lim_{v=u} f(x)=L\text{ se, e somente se, }\lim_{x \rightarrow w^{-}} f(x)=1.
Informações dadas extraídas do enunciado:
  • Há uma igualdade envolvendo uma limite escrita como \lim_{v=u} f(x)=L.
  • Há outra igualdade envolvendo limite lateral à esquerda: \lim_{x\to w^{-}} f(x)=1.
  • Deve-se decidir verdade/falsidade da equivalência lógica “se, e somente se” entre essas duas afirmações e justificar.

Passo 2

Interpretação e definição (passo didático): o que significa cada limite.
  • A expressão usual e correta para um limite de f quando x tende a um ponto é \lim_{x\to a} f(x)=L. Isso quer dizer, formalmente:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \exists\\ \delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x-a|<\delta,\\ \text{então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã
Explicando em palavras: ao nos aproximarmos de a (por valores x\neq a), os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L.
  • Limite lateral à esquerda: \lim_{x\to a^-} f(x)=M significa:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \exists\\ \delta>0\\ \text{tal que, se }0<a-x<\delta,\\ \text{então }|f(x)-M|<\varepsilon.ã
Isto é, aproximando x de a vindo pela esquerda (valores x<a), f(x) tende a M.

Passo 3

Observação sobre a notação do enunciado e o que a equivalência exige:
  • A notação \lim_{v=u} f(x)=L está estranha: a forma padrão seria \lim_{x\to u} f(x)=L. Vou entender que o autor quer dizer \lim_{x\to u} f(x)=L.
  • A afirmação proposta diz que " \lim_{x\to u} f(x)=L se, e somente se, \lim_{x\to w^-} f(x)=1 ". Uma equivalência “se e somente se” significa que ambas implicações devem valer:
    1. Se \lim_{x\to u} f(x)=L então \lim_{x\to w^-} f(x)=1.
    2. Se \lim_{x\to w^-} f(x)=1 então \lim_{x\to u} f(x)=L.
  • Para que essa equivalência seja verdadeira para toda escolha de função e de pontos, teria de haver uma relação muito forte entre u, w e L (por exemplo, seria necessário no mínimo u=w e L=1, e além disso condições de existência do limite). O enunciado não impõe essas relações. Portanto a afirmação generalizada parece suspeita: em geral não é verdadeira.

Passo 4

Contraexemplo concreto que mostra que a afirmação é falsa (mostra que a equivalência não vale em geral).
Escolho uma função simples:
f(x)=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
  • Para essa função, para qualquer ponto u vale
\lim_{x\to u} f(x)=0.
Logo a afirmação “ \lim_{x\to u} f(x)=L” é verdadeira se tomarmos L=0.
  • Mas para qualquer ponto w a limite lateral à esquerda vale
\lim_{x\to w^-} f(x)=0,
e não 1. Portanto a afirmação “ \lim_{x\to w^-} f(x)=1” é falsa para essa função.
Conclusão para esse contraexemplo: a hipótese \lim_{x\to u} f(x)=L (com L=0) é verdadeira, enquanto a conclusão \lim_{x\to w^-} f(x)=1 é falsa. Assim a implicação direta (1. acima) falha; portanto a equivalência “se e somente se” é falsa em geral.

Passo 5

Outro contraexemplo para reforçar (mostrando que a implicação inversa também não precisa valer).
Defina
f(x)=\begin{cases} 1, & x<0,\\[4pt] 0, & x\ge 0. \end{cases}
  • Temos
\lim_{x\to 0^-} f(x)=1.
  • Mas escolhando u=1 (por exemplo), observamos que f é constante igual a 0 numa vizinhança de u=1, logo
\lim_{x\to 1} f(x)=0.
Assim \lim_{x\to 0^-} f(x)=1 é verdadeira enquanto, para u=1 e L=1, a afirmação \lim_{x\to u} f(x)=L é falsa. Logo a segunda implicação (2. acima) também não é garantida.]

Passo 6

Resumo didático da razão pela qual a equivalência é falsa:
  • Limites em pontos diferentes e limites laterais são informações locais no ponto em questão. Não existe, sem hipóteses adicionais, nenhuma razão para que o fato "o limite em u existe e vale L" implique que "o limite à esquerda em w vale 1". São afirmações sobre comportamentos de f em pontos possivelmente distintos.
  • Para que a equivalência fosse verdadeira seria necessário, no mínimo, que u=w e L=1 e ainda outras condições (por exemplo existência do limite em torno do ponto). Mesmo com u=w e L=1 a afirmação “se e somente se” exige que o limite existindo no sentido bilateral seja equivalente ao limite lateral esquerdo igual a 1; isso só é verdade se o limite bilateral existir e for 1 (ou seja, é uma consequência óbvia, não uma equivalência universal sem hipóteses).

Resposta

F

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