Avalie se f(x) é ou não contínua em x=1 e justifique. f(x) = \left\{\begin{array}{lll}\frac{1}{-1} & \text { se } & x \neq 1 \\\\ 2 & \text { se } & x=1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se f(x)\) é contínua em \(x=1\) e justificar a resposta. As informações dadas são: - A função é definida por partes como \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{-1} & \text{se } x\neq 1,\\[6pt] 2 & \text{se } x=1. \end{cases}
  • Ou seja, para x\neq 1\] o valor de \(f(x) é \dfrac{1}{-1}, e no ponto x=1 o valor é 2.]

Passo 2

Definição de continuidade num ponto (explicação didática): dizer que a função f é contínua em um ponto a significa, por definição, que três coisas acontecem ao mesmo tempo:
  1. f(a) está definido (a função tem um valor em a);
  2. \lim_{x\to a} f(x) existe;
  3. \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Aqui a=1. Vou verificar cada item para a=1. Cada símbolo significa:
  • \lim_{x\to1} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x fica muito perto de 1 (mas podendo ser diferente de 1);
  • f(1) é o valor dado pela definição da função no ponto 1.

Passo 3

Valor da função em x=1: pelo enunciado,
f(1)=2.
Então o primeiro item da definição (função definida em 1) está satisfeito.

Passo 4

Cálculo intuitivo do limite \lim_{x\to1} f(x): para qualquer x\neq 1 a fórmula dá
f(x)=\frac{1}{-1}=-1.
Ou seja, para todos os pontos diferentes de 1 a função vale sempre -1. Quando nos aproximamos de 1 por valores x\neq 1, f(x) permanece constantemente -1. Portanto é natural concluir que
\lim_{x\to1} f(x) = -1.

Passo 5

Prova formal (epsilon-delta) de que \lim_{x\to1} f(x)=-1 — para consolidar a ideia:
Seja arbitrário \varepsilon>0. Para definir limite precisamos encontrar \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, valha |f(x)-(-1)|<\varepsilon.
Mas, para todo x com x\neq 1 temos f(x)=-1. Logo, sempre que 0<|x-1|<\delta (qualquer \delta>0), calcula-se
|f(x)-(-1)|=|-1-(-1)|=0<\varepsilon.
Portanto podemos escolher qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1) e a condição é satisfeita. Isso prova rigorosamente que \lim_{x\to1} f(x)=-1. Assim o segundo item da definição (existência do limite) está satisfeito.

Passo 6

Comparação limite versus valor da função: encontramos
\lim_{x\to1} f(x) = -1 \quad\text{e}\quad f(1)=2.
Como esses dois números são diferentes ( -1\neq 2), a condição \lim_{x\to1} f(x)=f(1) não se verifica. Portanto f não é contínua em x=1.

Passo 7

Classificação e comentário final (didático e encorajador): esse tipo de descontinuidade é chamada de descontinuidade removível, porque a curva dos valores para x\neq 1 aponta que o limite em 1 é -1 e basta redefinir f(1) para -1 para tornar f contínua em 1. Se ficar nervoso com provas: uma boa dica é sempre checar se a função tem um valor constante ao redor do ponto — aí o limite costuma ser fácil de achar.

Resposta

Não. f não é contínua em x=1, pois \lim_{x\to1} f(x)=-1\neq f(1)=2.

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