Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
Desenvolvendo a função
em série de potências obtém-se
.
Desenvolvendo a função
Passo 1
O enunciado pede para analisar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justificar:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Foi dada uma série candidata
que supostamente representa .
Passo 2
Recordando uma expansão conhecida: a série de potência da função exponencial é
válida para todo
(raio de convergência infinito). Substituindo
obtemos a expansão de
:
Explicação didática rápida: esta série vem de desenvolver
na série de Taylor centrada em
. O termo geral é
. Colocando
cada potência
vira
.
Passo 3
Multiplicamos essa série por
(já que o integrando é
):
Aqui usei a propriedade de que uma série de potências pode ser multiplicada termo a termo por um polinômio (aqui
), o que apenas aumenta os expoentes.
Passo 4
Justificando a troca soma ↔ integral: precisamos garantir que podemos integrar a série termo a termo no intervalo
. Como a série de
tem raio de convergência infinito, ela converge uniformemente em qualquer intervalo compacto de
, por exemplo em
fixo. Pelo teorema da integração termo a termo (ou pelo teste de Weierstrass/M-test), a série
pode ser integrada termo a termo em
. Resumindo: a uniformidade de convergência em
legitima
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Para cada
,
A integral de potência é elementar:
Portanto cada termo integrado é
Passo 6
Somando todos os termos obtemos
Comentário didático: a presença do limite inferior
facilita porque garante
e evita constantes de integração. Além disso, a série obtida converge para todo
(novamente por raio de convergência infinito da série exponencial), então a igualdade vale para todo
.
Passo 7
Verificação extra (sanity check): se derivarmos a série obtida termo a termo (válido dentro do raio de convergência), devemos recuperar o integrando
. Derivando
confirmando coerência com
.