Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
Desenvolvendo a função g(x)=\int_{0}^{x} t^{2} e^{-t^{2}} d t em série de potências obtém-se g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+3}}{n!(2 n+3)}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justificar:
\text{Afirmação: } g(x)=\int_{0}^{x} t^{2} e^{-t^{2}}\,dt \text{ desenvolve-se como } g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+3}}{n!(2 n+3)}.çã
Informações fornecidas:
  • A função é g(x)=\int_{0}^{x} t^{2} e^{-t^{2}}\,dt.
  • Foi dada uma série candidata \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+3}}{n!(2 n+3)} que supostamente representa g(x).

Passo 2

Recordando uma expansão conhecida: a série de potência da função exponencial é
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!},
válida para todo u\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito). Substituindo u=-t^{2} obtemos a expansão de e^{-t^{2}}:
e^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n}}{n!}.
Explicação didática rápida: esta série vem de desenvolver e^{u} na série de Taylor centrada em 0. O termo geral é u^{n}/n!. Colocando u=-t^{2} cada potência u^{n} vira (-1)^{n}t^{2n}.

Passo 3

Multiplicamos essa série por t^{2} (já que o integrando é t^{2}e^{-t^{2}}):
t^{2}e^{-t^{2}}=t^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n+2}}{n!}.
Aqui usei a propriedade de que uma série de potências pode ser multiplicada termo a termo por um polinômio (aqui t^2), o que apenas aumenta os expoentes.

Passo 4

Justificando a troca soma ↔ integral: precisamos garantir que podemos integrar a série termo a termo no intervalo [0,x]. Como a série de e^{-t^{2}} tem raio de convergência infinito, ela converge uniformemente em qualquer intervalo compacto de \mathbb{R}, por exemplo em [0,x] fixo. Pelo teorema da integração termo a termo (ou pelo teste de Weierstrass/M-test), a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n+2}}{n!}
pode ser integrada termo a termo em [0,x]. Resumindo: a uniformidade de convergência em [0,x] legitima
\int_{0}^{x} \left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n+2}}{n!}\right) dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x}\frac{(-1)^{n}t^{2n+2}}{n!}\,dt.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Para cada n,
\int_{0}^{x}\frac{(-1)^{n}t^{2n+2}}{n!}\,dt =\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_{0}^{x} t^{2n+2}\,dt.
A integral de potência é elementar:
\int_{0}^{x} t^{2n+2}\,dt=\left[\frac{t^{2n+3}}{2n+3}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{2n+3}}{2n+3}.
Portanto cada termo integrado é
\frac{(-1)^{n}}{n!}\cdot\frac{x^{2n+3}}{2n+3}=\frac{(-1)^{n}x^{2n+3}}{n!(2n+3)}.

Passo 6

Somando todos os termos obtemos
g(x)=\int_{0}^{x} t^{2} e^{-t^{2}}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+3}}{n!(2n+3)}.
Comentário didático: a presença do limite inferior 0 facilita porque garante g(0)=0 e evita constantes de integração. Além disso, a série obtida converge para todo x (novamente por raio de convergência infinito da série exponencial), então a igualdade vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Verificação extra (sanity check): se derivarmos a série obtida termo a termo (válido dentro do raio de convergência), devemos recuperar o integrando x^{2}e^{-x^{2}}. Derivando
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+3}}{n!(2n+3)}\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2n+3)x^{2n+2}}{n!(2n+3)} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+2}}{n!}=x^{2}e^{-x^{2}},
confirmando coerência com g'(x)=x^{2}e^{-x^{2}}.

Resposta

g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+3}}{n!(2n+3)}.

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