Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
f(x)=\frac{\cos x-1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: desenvolver em série de Taylor e em série de Maclaurin a função
f(x)=\frac{\cos x-1}{x^{2}}.
Informações fornecidas e observações iniciais úteis:
  • A função está dada explicitamente por f(x)=\dfrac{\cos x-1}{x^{2}}.
  • Há uma aparente singularidade em x=0 porque dividimos por x^{2}. Isso pode ser removível; teremos que checar o comportamento em x\to0.
  • Sabemos que a função cosseno tem uma expansão em série de potências (Maclaurin) que converge para todo x. Usaremos essa expansão para obter a série de f(x).
  • O enunciado pede tanto Taylor quanto Maclaurin. A série de Maclaurin é o caso especial da série de Taylor centrada em 0. Vou desenvolver principalmente a Maclaurin (centro 0) e explicar por que isso vale como Taylor em torno de 0.

Passo 2

Lembrete didático: o que é a série de Maclaurin/Taylor?
  • A série de Maclaurin de uma função é a série de Taylor centrada em 0. Escrevemos uma função analítica como uma soma de potências de x.
  • Para funções que conhecemos bem (como \cos x), é prático começar pela expansão conhecida e manipular termos.
A expansão conhecida de \cos x em torno de 0 (Maclaurin) é
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
ou, explicitamente, as primeiras parcelas
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdots.
Explicação rápida de por que isso é verdade: as derivadas de \cos x em 0 produzem alternância entre 1,0,-1,0,\ldots, e a fórmula geral da série de Taylor/Maclaurin com f^{(n)}(0)/n! dá exatamente essa soma.

Passo 3

Subtraímos 1 da expansão de \cos x para obter \cos x - 1. Como a expansão tem o termo constante 1, temos
\cos x - 1 = -\frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdots
Em notação de soma:
\cos x - 1 = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Observação: começamos a soma em n=1 porque o termo n=0 da expansão de \cos x era 1 e foi cancelado.

Passo 4

Agora dividimos termo a termo por x^{2} (válido para séries de potências em torno de zero, interpretando a série resultante como representação para x\neq0; e, pela continuidade analítica, a mesma série fornece a extensão em 0 quando convergente). Dividindo, obtemos
\frac{\cos x - 1}{x^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n-2}}{(2n)!}.
Para deixar a expressão mais bonita, reindexamos com m=n-1. Substituindo n=m+1 obtemos
\frac{\cos x - 1}{x^{2}} = \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^{m+1} \frac{x^{2m}}{(2m+2)!}.
Essa forma exibe a série como soma de potências pares x^{0},x^{2},x^{4},\ldots.

Passo 5

Escrevendo as primeiras parcelas explícitas (ótimo para uma prova: mostra os termos iniciais e o padrão):
\frac{\cos x - 1}{x^{2}} = -\frac{1}{2} + \frac{x^{2}}{24} - \frac{x^{4}}{720} + \frac{x^{6}}{40320} - \cdots.
Vamos verificar os coeficientes com base na forma geral:
  • Para m=0: coeficiente é (-1)^{1}/(2)! = -1/2.
  • Para m=1: coeficiente é (-1)^{2}/(4)! = 1/24.
  • Para m=2: coeficiente é (-1)^{3}/(6)! = -1/720.
    Tudo confere.

Passo 6

Sobre o ponto x=0 e convergência:
  • Pela série acima, o termo constante é -\dfrac{1}{2}. Isso mostra que a singularidade em 0 é removível: definindo f(0)=-\dfrac{1}{2} a função fica contínua e analítica em 0.
  • Podemos também checar o limite usando L’Hôpital (apenas como checagem rápida):
\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-\cos x}{2}=-\frac{1}{2}.
  • A série de \cos x tem raio de convergência infinito, logo a série obtida para f(x) também converge para todo x\in\mathbb{R} (exceto que a expressão original tem divisão por x^2, mas a série dá a extensão em 0 pelo valor -1/2).

Passo 7

Conclusão prática para a prova (como usar na hora): memorize a expansão de \cos x e proceda subtraindo 1 e dividindo por x^{2}. Se precisar do termo até certa ordem, faça a divisão apenas até a potência desejada. Para avaliar em 0 use o limite ou leia o termo constante da série.

Resposta

Série de Taylor em torno de 0 (Maclaurin):
\frac{\cos x-1}{x^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m+1}\frac{x^{2m}}{(2m+2)!}
Série de Maclaurin:
\frac{\cos x-1}{x^{2}}=-\frac{1}{2}+\frac{x^{2}}{24}-\frac{x^{4}}{720}+\frac{x^{6}}{40320}-\cdots

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