Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
Passo 1
O enunciado pede: desenvolver em série de Taylor e em série de Maclaurin a função
Informações fornecidas e observações iniciais úteis:
- A função está dada explicitamente por
. - Há uma aparente singularidade em
porque dividimos por . Isso pode ser removível; teremos que checar o comportamento em . - Sabemos que a função cosseno tem uma expansão em série de potências (Maclaurin) que converge para todo
. Usaremos essa expansão para obter a série de . - O enunciado pede tanto Taylor quanto Maclaurin. A série de Maclaurin é o caso especial da série de Taylor centrada em
. Vou desenvolver principalmente a Maclaurin (centro ) e explicar por que isso vale como Taylor em torno de .
Passo 2
Lembrete didático: o que é a série de Maclaurin/Taylor?
- A série de Maclaurin de uma função é a série de Taylor centrada em
. Escrevemos uma função analítica como uma soma de potências de . - Para funções que conhecemos bem (como
), é prático começar pela expansão conhecida e manipular termos.
A expansão conhecida de
em torno de
(Maclaurin) é
ou, explicitamente, as primeiras parcelas
Explicação rápida de por que isso é verdade: as derivadas de
em
produzem alternância entre
, e a fórmula geral da série de Taylor/Maclaurin com
dá exatamente essa soma.
Passo 3
Subtraímos
da expansão de
para obter
. Como a expansão tem o termo constante
, temos
Em notação de soma:
Observação: começamos a soma em
porque o termo
da expansão de
era
e foi cancelado.
Passo 4
Agora dividimos termo a termo por
(válido para séries de potências em torno de zero, interpretando a série resultante como representação para
; e, pela continuidade analítica, a mesma série fornece a extensão em
quando convergente). Dividindo, obtemos
Para deixar a expressão mais bonita, reindexamos com
. Substituindo
obtemos
Essa forma exibe a série como soma de potências pares
.
Passo 5
Escrevendo as primeiras parcelas explícitas (ótimo para uma prova: mostra os termos iniciais e o padrão):
Vamos verificar os coeficientes com base na forma geral:
- Para
: coeficiente é . - Para
: coeficiente é . - Para
: coeficiente é .
Tudo confere.
Passo 6
Sobre o ponto
e convergência:
- Pela série acima, o termo constante é
. Isso mostra que a singularidade em é removível: definindo a função fica contínua e analítica em . - Podemos também checar o limite usando L’Hôpital (apenas como checagem rápida):
- A série de
tem raio de convergência infinito, logo a série obtida para também converge para todo (exceto que a expressão original tem divisão por , mas a série dá a extensão em pelo valor ).
Passo 7
Conclusão prática para a prova (como usar na hora): memorize a expansão de
e proceda subtraindo
e dividindo por
. Se precisar do termo até certa ordem, faça a divisão apenas até a potência desejada. Para avaliar em
use o limite ou leia o termo constante da série.
Resposta
Série de Taylor em torno de
(Maclaurin):
Série de Maclaurin: