Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em série de Taylor e Maclaurin a função
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - Observação útil: a expressão original está indefinida em
(divisão por zero), mas frequentemente a expansão em série mostrará se há uma extensão contínua em . - A tarefa é apresentar a série (Maclaurin — série em torno de
— e, por conexão, a série de Taylor centrada em ).
Não vou resolver nada ainda; só listei o que o problema dá e o que ele pede.
Passo 2
Vou recordar a fórmula padrão (Maclaurin) da série de
. Essa é uma ferramenta básica: para qualquer variável real
,
Explicando cada parte dessa fórmula:
-
é o índice da soma, que vai de até infinito. - O expoente
indica que só aparecem potências ímpares de : . -
é o fatorial de . - O fator
alterna sinais: , , , , …
Essa série converge para todoreal (raio de convergência infinito), então podemos substituí-la por sem problema de convergência.
Passo 3
Substituo
na série de
. Fazendo essa substituição:
Agora simplifico a potência
. Lembre que
. Então
Passo 4
Agora divido a série obtida por
para obter
. Dividindo termo a termo:
Subtraindo os expoentes na divisão
, resulta
Essa é a série de Maclaurin (que é a Taylor centrada em
) do
.
Passo 5
Vou escrever os primeiros termos explícitos para ficar bem concreto — isso ajuda muito na prova e para ver o comportamento em
. Tomando
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Portanto os primeiros termos são
Esses termos saem direto da fórmula geral
.
Passo 6
Discussão rápida sobre convergência e valor em
(útil na prova):
- A série de
converge para todo , logo a série que obtivemos converge para todo real — ou seja, raio de convergência infinito. - Sobre
: a expressão original não está definida em , mas pelo limite
temos que a função admite uma extensão contínua em
com valor
. A série Maclaurin que encontramos também dá
quando
(todos os termos têm potência
com
).
- Observação sobre Taylor: a série acima é a série de Taylor de
centrada em (ou seja, a série de Maclaurin). Expandir em torno de outro ponto é possível, mas produz fórmulas muito mais complicadas; em provas geralmente pedem a Maclaurin, que já é esta.