Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
f(x)=\frac{\sin \left(x^{5}\right)}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de Taylor e Maclaurin a função f(x)=\dfrac{\sin\left(x^{5}\right)}{x^{3}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{\sin\left(x^{5}\right)}{x^{3}}.
  • Observação útil: a expressão original está indefinida em x=0 (divisão por zero), mas frequentemente a expansão em série mostrará se há uma extensão contínua em 0.
  • A tarefa é apresentar a série (Maclaurin — série em torno de 0 — e, por conexão, a série de Taylor centrada em 0).
    Não vou resolver nada ainda; só listei o que o problema dá e o que ele pede.

Passo 2

Vou recordar a fórmula padrão (Maclaurin) da série de \sin. Essa é uma ferramenta básica: para qualquer variável real t,
\sin t = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Explicando cada parte dessa fórmula:
  • n é o índice da soma, que vai de 0 até infinito.
  • O expoente 2n+1 indica que só aparecem potências ímpares de t: t, t^{3}, t^{5},\dots.
  • (2n+1)! é o fatorial de 2n+1.
  • O fator (-1)^{n} alterna sinais: +, -, +, -, …
    Essa série converge para todo t real (raio de convergência infinito), então podemos substituí-la por t=x^{5} sem problema de convergência.

Passo 3

Substituo t=x^{5} na série de \sin t. Fazendo essa substituição:
\sin\left(x^{5}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{\left(x^{5}\right)^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Agora simplifico a potência \left(x^{5}\right)^{2n+1}. Lembre que \left(x^{5}\right)^{2n+1}=x^{5(2n+1)}. Então
\sin\left(x^{5}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{5(2n+1)}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{10n+5}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Agora divido a série obtida por x^{3} para obter f(x)=\dfrac{\sin\left(x^{5}\right)}{x^{3}}. Dividindo termo a termo:
f(x)=\frac{\sin\left(x^{5}\right)}{x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{10n+5}}{(2n+1)!\,x^{3}}.
Subtraindo os expoentes na divisão x^{10n+5}/x^{3}=x^{10n+2}, resulta
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{10n+2}}{(2n+1)!}.
Essa é a série de Maclaurin (que é a Taylor centrada em 0) do f.

Passo 5

Vou escrever os primeiros termos explícitos para ficar bem concreto — isso ajuda muito na prova e para ver o comportamento em 0. Tomando n=0,1,2,3:
  • Para n=0: (-1)^{0}\dfrac{x^{10\cdot0+2}}{(2\cdot0+1)!}=\dfrac{x^{2}}{1!}=x^{2}.
  • Para n=1: (-1)^{1}\dfrac{x^{10+2}}{3!}=-\dfrac{x^{12}}{3!}=-\dfrac{x^{12}}{6}.
  • Para n=2: (-1)^{2}\dfrac{x^{20+2}}{5!}=\dfrac{x^{22}}{5!}=\dfrac{x^{22}}{120}.
  • Para n=3: (-1)^{3}\dfrac{x^{32}}{7!}=-\dfrac{x^{32}}{5040}.
    Portanto os primeiros termos são
f(x)=x^{2}-\frac{x^{12}}{6}+\frac{x^{22}}{120}-\frac{x^{32}}{5040}+\cdots
Esses termos saem direto da fórmula geral \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\dfrac{x^{10n+2}}{(2n+1)!}.

Passo 6

Discussão rápida sobre convergência e valor em 0 (útil na prova):
  • A série de \sin t converge para todo t, logo a série que obtivemos converge para todo x real — ou seja, raio de convergência infinito.
  • Sobre x=0: a expressão original \dfrac{\sin\left(x^{5}\right)}{x^{3}} não está definida em 0, mas pelo limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin\left(x^{5}\right)}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{5}+o(x^{5})}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}x^{2}=0,
temos que a função admite uma extensão contínua em 0 com valor f(0)=0. A série Maclaurin que encontramos também dá 0 quando x=0 (todos os termos têm potência x^{k} com k\ge 2).
  • Observação sobre Taylor: a série acima é a série de Taylor de f centrada em 0 (ou seja, a série de Maclaurin). Expandir em torno de outro ponto a\neq 0 é possível, mas produz fórmulas muito mais complicadas; em provas geralmente pedem a Maclaurin, que já é esta.

Resposta

\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{10n+2}}{(2n+1)!}=x^{2}-\frac{x^{12}}{6}+\frac{x^{22}}{120}-\frac{x^{32}}{5040}+\cdots}

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