(5) Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, provando suas afirmações:
A derivada da função g(x)=x^{\pi} é g^{\prime}(x)=\pi x^{\pi-1}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se a afirmação “a derivada de g(x)=x^pi é g'(x)=pi x^pi-1” é verdadeira, provando-a ou refutando-a. O conteúdo envolvido é derivada de função potência com expoente real, que vamos obter usando a reescrita por exponencial e logaritmo natural e depois a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro notamos que, como pi é irracional, a expressão x^pi fica bem definida como número real somente para x>0. Logo, consideramos gcolon(0,infty)toR dada por
g(x)=x^pi
Usamos a identidade clássica para potência de expoente real:
x^pi = e^piln x
Definimos então
u(x)=piln x,
de modo que
g(x)=e^u(x)

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para derivar g(x)=e^u(x). Sabemos que
ddxe^u(x) = u'(x),e^u(x)
Como
u'(x) = ddxl(piln xr) = picdot1x,
segue que
g'(x) = picdot1x ;e^piln x = pi,e^piln xx = pi,x^pix = pi,x^pi-1

Passo 4

Concluímos que, no domínio (0,infty), a afirmação é verdadeira: a derivada de g(x)=x^pi é de fato g'(x)=pi,x^pi-1.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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