(5) Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, provando suas afirmações:
A derivada da função g(x)=x^{\pi} é g^{\prime}(x)=\pi x^{\pi-1}.
A derivada da função g(x)=x^{\pi} é g^{\prime}(x)=\pi x^{\pi-1}.
Passo 1
O enunciado pede para analisar se a afirmação “a derivada de
é
” é verdadeira, provando-a ou refutando-a. O conteúdo envolvido é derivada de função potência com expoente real, que vamos obter usando a reescrita por exponencial e logaritmo natural e depois a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro notamos que, como
é irracional, a expressão
fica bem definida como número real somente para
. Logo, consideramos
dada por
Usamos a identidade clássica para potência de expoente real:
Definimos então
de modo que
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para derivar
. Sabemos que
Como
segue que
Passo 4
Concluímos que, no domínio
, a afirmação é verdadeira: a derivada de
é de fato
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.