Determine o comprimento da curva de equações paramétricas:
x(t)=(2 / 3) t^3, y(t)=t^2-2, 0 <= t <= 3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada por
x(t)=tfrac23t^3, y(t)=t^2-2, 0<= t<=3
Isso é um problema de comprimento de arco em parametrização: usamos
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x'(t)=ddtl(tfrac23t^3r)=2t^2,
y'(t)=ddtl(t^2-2r)=2t

Passo 3

Montamos o integrando:
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =raiz(2t^2)^2+(2t)^2 =raiz4t^4+4t^2 =2traizt^2+1,
pois em [0,3] temos t>=0. Logo
L=integral0^32traizt^2+1;dt

Passo 4

Fazemos a substituição u=t^2+1, então du=2t,dt. Quando t=0 vem u=1 e quando t=3 vem u=10. Assim
L=integralu=1^10raizu;du =integral1^10u^tfrac12;du

Passo 5

Integramos:
integral u^tfrac12;du=23u^tfrac32,
então
L=l[tfrac23u^tfrac32r]1^10 =tfrac23l(10^tfrac32-1^tfrac32r) =tfrac23l(10raiz10-1r)

Resposta

L=23l(10raiz10-1r)

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