Curvature of Plane Parametric Curves The curvature of a plane parametric curve x=f(t), y=g(t) is given by
kappa=|dotx ddoty-doty ddotx|[dotx^2+doty^2]^3 / 2
where the dots indicate derivatives with respect to t.
Find the curvature of the curve x=t^2, y=t^3.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos calcular a curvatura de uma curva paramétrica no plano dada por
x=f(t)=t^2, y=g(t)=t^3,
usando a fórmula
kappa=l|dot x,ddot y-dot y,ddot xr|l[dot x^2+dot y^2r]^3/2

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas primeira e segunda de x e de y em relação a t.
Para x=t^2 temos
dot x=dxdt=2t, ddot x=d^2xdt^2=2
Para y=t^3 temos
dot y=dydt=3t^2, ddot y=d^2ydt^2=6t

Passo 3

Agora calculamos o numerador da fórmula da curvatura:
l|dot x,ddot y-dot y,ddot xr| =l| (2t),(6t) - (3t^2),(2)r| =l|12t^2-6t^2r| =l|6t^2r| =6,t^2,
pois t^2>=0.

Passo 4

Em seguida, o denominador é
l[dot x^2+dot y^2r]^3/2 =l[(2t)^2+(3t^2)^2r]^3/2 =l[4t^2+9t^4r]^3/2 =l[t^2(4+9t^2)r]^3/2 =l|t^2r|^3/2,(4+9t^2)^3/2
Como l|t^2r|^3/2=(t^2)^3/2=|t|^3, temos
l[dot x^2+dot y^2r]^3/2 =|t|^3,(4+9t^2)^3/2

Passo 5

Finalmente, juntando numerador e denominador, a curvatura fica
kappa =6,t^2|t|^3,(4+9t^2)^3/2 =6|t|,(4+9t^2)^3/2

Resposta

boxedkappa(t)=6|t|,(4+9t^2)^3/2

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