Curvature of Plane Parametric Curves The curvature of a plane parametric curve x=f(t), y=g(t) is given by
kappa=|dotx ddoty-doty ddotx|[dotx^2+doty^2]^3 / 2
where the dots indicate derivatives with respect to t.
Find the curvature of the curve x=a cos omega t, y=b sin omega t.

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva paramétrica
x = acos(omega t), y = bsin(omega t)
usando a fórmula
kappa = l|dot x,ddot y - dot y,ddot xr|l[dot x^2 + dot y^2r]^3/2
Vamos calcular as derivadas necessárias e depois montar numerador e denominador.

Passo 2

Calcular as primeiras derivadas em relação a t:
dot x = dxdt = -a,omegasin(omega t),
dot y = dydt = b,omegacos(omega t)

Passo 3

Calcular as segundas derivadas em relação a t:
ddot x = d^2xdt^2 = -a,omega^2cos(omega t),
ddot y = d^2ydt^2 = -b,omega^2sin(omega t)

Passo 4

Montar o numerador dot x,ddot y - dot y,ddot x e tomar valor absoluto:
dot x,ddot y - dot y,ddot x = l(-aomegasin(omega t)r)l(-bomega^2sin(omega t)r) - l(bomegacos(omega t)r)l(-aomega^2cos(omega t)r) = a,b,omega^3l[sin^2(omega t)+cos^2(omega t)r] = a,b,omega^3
Portanto
l|dot x,ddot y - dot y,ddot xr| = |a,b,omega^3|

Passo 5

Montar o denominador l[dot x^2+dot y^2r]^3/2:
dot x^2 + dot y^2 = a^2omega^2sin^2(omega t) + b^2omega^2cos^2(omega t) = omega^2l[a^2sin^2(omega t)+b^2cos^2(omega t)r]
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l[dot x^2 + dot y^2r]^3/2 = |omega|^3l[a^2sin^2(omega t)+b^2cos^2(omega t)r]^3/2

Passo 6

Substituindo na fórmula da curvatura:
kappa = |a,b,omega^3||omega|^3l[a^2sin^2(omega t)+b^2cos^2(omega t)r]^3/2 = a,bl[a^2sin^2(omega t)+b^2cos^2(omega t)r]^3/2

Resposta

boxedkappa(t)=a,bl[a^2sin^2(omega t)+b^2cos^2(omega t)r]^3/2

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