ANALISE AS AFIRMAÇÕES A SEGUIR *
Considere a cônica, no sistema de eixos ortogonais XOY, dada pela equação
Seja
o sistema obtido pela rotação do sistema
por um ângulo
.
I. Os parâmetros geométricos da cônica são
e
.
II. O triângulo formado pelos parâmetros geométricos tem área igual a 2 .
A afirmação (I) é falsa e (II) é verdadeira.
A afirmação (I) é verdadeira e (II) é falsa.
As afirmações (I) e (II) são falsas.
As afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
I. Os parâmetros geométricos da cônica são
II. O triângulo formado pelos parâmetros geométricos tem área igual a 2 .
A afirmação (I) é falsa e (II) é verdadeira.
A afirmação (I) é verdadeira e (II) é falsa.
As afirmações (I) e (II) são falsas.
As afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede para checar duas afirmações sobre os parâmetros
do elipse obtido após uma rotação de eixos. Vamos classificar a cônica e rodar em
de modo a eliminar o termo misto, encontrando a forma canônica e daí
. Depois verificamos a área do triângulo de lados
.
Passo 2
Para classificar a cônica usamos o discriminante
logo é uma elipse não degenerada.
Passo 3
Escolhemos
, com
Substituindo, o termo quadrático vira
e os termos lineares dão
. Após completar quadrado em
obtemos
Daí os semi-eixos são
e a distância focal
Passo 4
A afirmação (I) dizia
. Como encontramos
, a afirmação (I) é falsa.
Passo 5
Para a afirmação (II) usamos a fórmula de Heron para o triângulo de lados
. O semiperímetro é
Calcula-se
logo a área é
. Assim a afirmação (II) é verdadeira.
Resposta
A afirmação (I) é falsa e (II) é verdadeira.