ANALISE AS AFIRMAÇÕES A SEGUIR *
Considere a cônica, no sistema de eixos ortogonais XOY, dada pela equação
3 x^2-4 x y+3 y^2+30 x-30 y+80=0
Seja barX O barY o sistema obtido pela rotação do sistema X O Y por um ângulo theta.
I. Os parâmetros geométricos da cônica são a=raiz10, b=raiz2 e c=raiz12.
II. O triângulo formado pelos parâmetros geométricos tem área igual a 2 .
A afirmação (I) é falsa e (II) é verdadeira.
A afirmação (I) é verdadeira e (II) é falsa.
As afirmações (I) e (II) são falsas.
As afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
3x^2-4xy+3y^2+30x-30y+80=0
e pede para checar duas afirmações sobre os parâmetros a,b,c do elipse obtido após uma rotação de eixos. Vamos classificar a cônica e rodar em theta de modo a eliminar o termo misto, encontrando a forma canônica e daí a,b,c. Depois verificamos a área do triângulo de lados a,b,c.

Passo 2

Para classificar a cônica usamos o discriminante
De<a = B^2-4AC=(-4)^2-4cdot3cdot3=16-36=-20<0,
logo é uma elipse não degenerada.

Passo 3

Escolhemos theta=pi/4, com
x=u-vraiz2, y=u+vraiz2
Substituindo, o termo quadrático vira
u^2+5v^2,
e os termos lineares dão -30raiz2,v. Após completar quadrado em v obtemos
u^2+5(v-3raiz2)^2=10 Longrightarrow u^210+(v-3raiz2)^22=1
Daí os semi-eixos são
a=raiz10, b=raiz2,
e a distância focal
c=raiza^2-b^2=raiz10-2=raiz8

Passo 4

A afirmação (I) dizia a=raiz10,,b=raiz2,,c=raiz12. Como encontramos c=raiz8neqraiz12, a afirmação (I) é falsa.

Passo 5

Para a afirmação (II) usamos a fórmula de Heron para o triângulo de lados
raiz10,raiz2,raiz8. O semiperímetro é
s=raiz10+raiz2+raiz82=raiz10+3raiz22
Calcula-se
De<a=s(s-raiz10)(s-raiz2)(s-raiz8) =84cdot84=4,
logo a área é raiz4=2. Assim a afirmação (II) é verdadeira.

Resposta

A afirmação (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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