Mostre que o plano y z, isto é, W=(0, b, c) ; b, c in R em R^3 é gerado por:
(a) (0,1,1) e (0,2,-1);
(b) (0,1,2),(0,2,3) e (0,3,1);
(c) Por que um plano pode ser gerado por dois ou três vetores? Este mesmo plano pode ser gerado por um vetor? Exiba um conjunto de quatro vetores que geram W e um conjunto de dois vetores que geram W.

Passo 1

O enunciado define
W = (0,b,c)inR^3 mid b,cinR,
que é o plano y!z. Precisamos mostrar que
(a) W=Span(0,1,1),(0,2,-1),
(b) W=Span(0,1,2),(0,2,3),(0,3,1),
e (c) discutir por que um plano pode ter conjuntos geradores de tamanho 2 ou 3 (mas não 1), além de dar um conjunto de 4 vetores e outro de 2 vetores que geram W. Usaremos a definição de espaço gerado e a noção de dimensão.

Passo 2

Mostrando (a):
1. Seja V=Spanv1,v2 com
v1=(0,1,1), v2=(0,2,-1)
Qualquer combinação linear
alpha v1+beta v2 =(0,;alpha+2beta,;alpha-beta)
é de forma (0,b,c), logo Vsubset W.
2. Para a inclusão Wsubset V, dado (0,b,c), resolvemos
alpha+2beta = b, alpha-beta = c
Da segunda alpha = c+beta. Substituindo na primeira:
(c+beta)+2beta = b ;Longrightarrow; 3beta = b-c ;Longrightarrow; beta = b-c3,
alpha = c+b-c3 = b+2c3
Como sempre existe solução (alpha,beta), temos (0,b,c)in V.
Portanto W=V.

Passo 3

Mostrando (b):
Considere
que só tem pois dado basta resolver
que é sistema não degenerado.
. Como pertence ao span de (pode-se resolver ), temos
.

Passo 4

Respondendo (c):
Um plano em R^3 tem dimensão 2, logo qualquer base possui exatamente 2 vetores.
  • Um conjunto de 2 vetores que seja base gera o plano.
  • Se acrescentamos vetores a uma base, obtemos conjuntos geradores maiores (ex.: 3 ou 4 vetores), mas com redundância.
  • Um único vetor gera no máximo uma reta ( dim<=1), logo não pode gerar um plano de dimensão 2.

Passo 5

Exemplos de conjuntos geradores de W:
1. Quatro vetores (redundantes), por exemplo
(0,1,0),;(0,0,1),;(0,1,1),;(0,2,3)
Qualquer (0,b,c) se escreve facilmente como combinação de (0,1,0) e (0,0,1), e os outros dois são supérfluos.
2. Dois vetores que geram W (uma base), por exemplo
(0,1,0)e(0,0,1)
De fato,
(0,b,c) = b,(0,1,0) + c,(0,0,1)

Resposta

(a) W=Span(0,1,1),(0,2,-1)
(b) W=Span(0,1,2),(0,2,3),(0,3,1)
(c) Um plano (dimensão 2) exige pelo menos 2 vetores para ser gerado; pode ter geradores redundantes ( 3, 4, ···), mas não cabe em 1 vetor.
Um conjunto de quatro geradores: (0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,2,3).
Um conjunto de dois geradores (base): (0,1,0),(0,0,1)

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