Mostre que o plano
, isto é,
em
é gerado por:
(a)
e
;
(b)
e
;
(c) Por que um plano pode ser gerado por dois ou três vetores? Este mesmo plano pode ser gerado por um vetor? Exiba um conjunto de quatro vetores que geram
e um conjunto de dois vetores que geram
.
(a)
(b)
(c) Por que um plano pode ser gerado por dois ou três vetores? Este mesmo plano pode ser gerado por um vetor? Exiba um conjunto de quatro vetores que geram
Passo 1
O enunciado define
que é o plano
. Precisamos mostrar que
(a) ,
(b) ,
e (c) discutir por que um plano pode ter conjuntos geradores de tamanho ou
(mas não
), além de dar um conjunto de
vetores e outro de
vetores que geram
. Usaremos a definição de espaço gerado e a noção de dimensão.
(a)
(b)
e (c) discutir por que um plano pode ter conjuntos geradores de tamanho
Passo 2
Mostrando (a):
. Seja
com
Qualquer combinação linear
é de forma
, logo
.
. Para a inclusão
, dado
, resolvemos
Da segunda
. Substituindo na primeira:
Como sempre existe solução
, temos
.
Portanto .
Portanto
Passo 3
Mostrando (b):
Considere
Considere
que só tem pois dado
basta resolver
que é sistema
não degenerado.
. Como
pertence ao span de
(pode-se resolver
), temos
.
Passo 4
Respondendo (c):
Um plano em tem dimensão
, logo qualquer base possui exatamente
vetores.
Um plano em
- Um conjunto de
vetores que seja base gera o plano. - Se acrescentamos vetores a uma base, obtemos conjuntos geradores maiores (ex.:
ou vetores), mas com redundância. - Um único vetor gera no máximo uma reta (
), logo não pode gerar um plano de dimensão .
Passo 5
Exemplos de conjuntos geradores de
:
. Quatro vetores (redundantes), por exemplo
Qualquer
se escreve facilmente como combinação de
e
, e os outros dois são supérfluos.
. Dois vetores que geram
(uma base), por exemplo
De fato,
Resposta
(a)
(b)
(c) Um plano (dimensão ) exige pelo menos
vetores para ser gerado; pode ter geradores redundantes (
,
, ···), mas não cabe em
vetor.
Um conjunto de quatro geradores: .
Um conjunto de dois geradores (base):
(b)
(c) Um plano (dimensão
Um conjunto de quatro geradores:
Um conjunto de dois geradores (base):