Questão 15: Considere
e
vetores quaisquer. Prove que:
$
.
$
Passo 1
O enunciado pede que mostremos a identidade conhecida como lei do paralelogramo para vetores
e
em um espaço com produto interno, ou seja,
Vamos usar a definição de norma em termos de produto interno:
, e as propriedades bilineares e simétricas desse produto interno.
Passo 2
Calculemos primeiro cada termo do lado direito em termos de produto interno. Para
temos
De modo análogo, para
obtemos
Passo 3
Somando as duas expressões expandidas, cancelam-se os termos
com
. Assim,
Passo 4
Basta agora dividir ambos os lados por
. Obtemos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.