Questão 15: Considere u e v vetores quaisquer. Prove que:
$ |u|^2+|v|^2=12(|u+v|^2+|u-v|^2).

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a identidade conhecida como lei do paralelogramo para vetores u e v em um espaço com produto interno, ou seja,
|u|^2+|v|^2 =12l(|u+v|^2+|u-v|^2r)
Vamos usar a definição de norma em termos de produto interno:
|w|^2=lang<=w,wrang<=, e as propriedades bilineares e simétricas desse produto interno.

Passo 2

Calculemos primeiro cada termo do lado direito em termos de produto interno. Para |u+v|^2 temos
|u+v|^2 =lang<=u+v,,u+vrang<= =lang<=u,urang<= +2,lang<=u,vrang<= +lang<=v,vrang<= =|u|^2+2lang<=u,vrang<=+|v|^2
De modo análogo, para |u-v|^2 obtemos
|u-v|^2 =lang<=u-v,,u-vrang<= =|u|^2-2lang<=u,vrang<=+|v|^2

Passo 3

Somando as duas expressões expandidas, cancelam-se os termos 2lang<=u,vrang<= com -2lang<=u,vrang<=. Assim,
|u+v|^2+|u-v|^2 =(|u|^2+2lang<=u,vrang<=+|v|^2) +(|u|^2-2lang<=u,vrang<=+|v|^2) =2|u|^2+2|v|^2

Passo 4

Basta agora dividir ambos os lados por 2. Obtemos
12l(|u+v|^2+|u-v|^2r) =|u|^2+|v|^2,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

|u|^2+|v|^2=dfrac12l(|u+v|^2+|u-v|^2r).

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