(e)
.
Suponha que
seja L.I., mas
seja L.D. Mostre que
é combinação linear dos vetores de
.
Suponha que
Passo 1
Resumindo: temos um conjunto
que é linearmente independente (L.I.), e ao adicionarmos um vetor
obtemos
que é linearmente dependente (L.D.). O objetivo é mostrar que
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
. Para isso vamos usar a definição de dependência linear e a propriedade de independência de
.
Passo 2
Pela definição de dependência linear, como
é L.D., existem escalares
, nem todos zero, tais que
Passo 3
Se
, então a relação acima se reduz a
Mas como
é L.I., isso só ocorre quando
. Assim todos os coeficientes seriam zero, contradizendo o fato de não serem todos nulos. Logo devemos ter
.
Passo 4
Isolando
na relação inicial, obtemos
e, dividindo por
,
Passo 5
A expressão acima mostra exatamente que
é combinação linear de
. Portanto
como queríamos demonstrar.
Resposta
para certos escalares
.