(e) (2,1,3),(0,0,0),(1,5,2) subset R^3.
Suponha que S=v1, v2, ldots, v3 seja L.I., mas v1, v2, ldots, vn, w seja L.D. Mostre que w é combinação linear dos vetores de S .

Passo 1

Resumindo: temos um conjunto S=v1,v2,dots,vnsubsetR^3 que é linearmente independente (L.I.), e ao adicionarmos um vetor w obtemos v1,dots,vn,w que é linearmente dependente (L.D.). O objetivo é mostrar que w pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S. Para isso vamos usar a definição de dependência linear e a propriedade de independência de S.

Passo 2

Pela definição de dependência linear, como v1,dots,vn,w é L.D., existem escalares alpha1,dots,alphan,beta, nem todos zero, tais que
alpha1v1+alpha2v2+cdots+alphanvn+beta,w=0

Passo 3

Se beta=0, então a relação acima se reduz a
alpha1v1+alpha2v2+cdots+alphanvn=0
Mas como S é L.I., isso só ocorre quando alpha1=alpha2=cdots=alphan=0. Assim todos os coeficientes seriam zero, contradizendo o fato de não serem todos nulos. Logo devemos ter betaneq0.

Passo 4

Isolando w na relação inicial, obtemos
beta,w=-l(alpha1v1+alpha2v2+cdots+alphanvnr)
e, dividindo por beta,
w = -alpha1beta,v1 ;-;alpha2beta,v2;-cdots-;alphanbeta,vn

Passo 5

A expressão acima mostra exatamente que w é combinação linear de v1,dots,vn. Portanto
winspanv1,dots,vn,
como queríamos demonstrar.

Resposta

w é combinação linear dos vetores de S, ou seja,
w = c1v1 + c2v2 + cdots + cnvn
para certos escalares c1,dots,cn.

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