ANALISE AS AFIRMAÇÕES A SEGUIR *
Considere a cônica, no sistema de eixos ortogonais XOY, dada pela equação
Seja
o sistema obtido pela rotação do sistema
por um ângulo
.
I. Em relação ao sistema
no qual a cônica não está rotacionada, o centro dela é o ponto
.
II. Se o sistema
for obtido pela rotação por um ângulo
, então é possível obter uma forma canônica onde
.
A afirmação (I) é falsa e (II) é verdadeira.
A afirmação (I) é verdadeira e (II) é falsa.
As afirmações (I) e (II) são falsas.
As afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
I. Em relação ao sistema
II. Se o sistema
A afirmação (I) é falsa e (II) é verdadeira.
A afirmação (I) é verdadeira e (II) é falsa.
As afirmações (I) e (II) são falsas.
As afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede para avaliar duas afirmações sobre: (I) o centro no sistema rotacionado em que o termo misto desaparece; (II) a eliminação do termo misto para
. Vamos usar teoria de rotação de eixos e cálculo de centro de cônica.
Passo 2
Na forma geral
temos
Para eliminar o termo misto fazemos
logo
Passo 3
O centro
da cônica é solução de
Isto dá o sistema
cuja solução é
Passo 4
Para
, as coordenadas do centro no novo sistema
vêm de
Substituindo
e
,
Portanto no sistema sem termo misto (θ=45°) o centro é
. Logo (I) é verdadeira.
Passo 5
Se girarmos de fato por
, temos igualmente
ou seja, o termo misto desaparece também para essa escolha de ângulo. Isso mostra que para
é possível obter
. Logo (II) é verdadeira.
Resposta
As afirmações (I) e (II) são verdadeiras.