ANALISE AS AFIRMAÇÕES A SEGUIR *
Considere a cônica, no sistema de eixos ortogonais XOY, dada pela equação
3 x^2-4 x y+3 y^2+30 x-30 y+80=0
Seja barX O barY o sistema obtido pela rotação do sistema X O Y por um ângulo theta.
I. Em relação ao sistema barX O barY no qual a cônica não está rotacionada, o centro dela é o ponto barC=(0,3 raiz2).
II. Se o sistema barX O barY for obtido pela rotação por um ângulo theta=-45^circ, então é possível obter uma forma canônica onde Btheta=0.
A afirmação (I) é falsa e (II) é verdadeira.
A afirmação (I) é verdadeira e (II) é falsa.
As afirmações (I) e (II) são falsas.
As afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
3x^2-4xy+3y^2+30x-30y+80=0
e pede para avaliar duas afirmações sobre: (I) o centro no sistema rotacionado em que o termo misto desaparece; (II) a eliminação do termo misto para theta=-45^circ. Vamos usar teoria de rotação de eixos e cálculo de centro de cônica.

Passo 2

Na forma geral
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
temos
A=3, B=-4, C=3, D=30, E=-30, F=80
Para eliminar o termo misto fazemos
tan 2theta = BA-C = -43-3 = pminfty
logo
2theta = pm 90^circ Longrightarrow theta = 45^circ ou -45^circ

Passo 3

O centro (x0,y0) da cônica é solução de
partialpartial x(3x^2-4xy+3y^2+30x-30y+80)=0,
partialpartial y(3x^2-4xy+3y^2+30x-30y+80)=0
Isto dá o sistema
6x -4y +30 =0,
-4x+6y -30 =0,
cuja solução é
(x0,y0)=(-3,3)

Passo 4

Para theta=45^circ, as coordenadas do centro no novo sistema (bar x,bar y) vêm de
bar x = xcostheta + ysintheta, bar y = -,xsintheta + ycostheta
Substituindo (x,y)=(-3,3) e cos45^circ=sin45^circ=1/raiz2,
bar x = -3+3raiz2=0, bar y = 3+3raiz2=3raiz2
Portanto no sistema sem termo misto (θ=45°) o centro é bar C=(0,3raiz2). Logo (I) é verdadeira.

Passo 5

Se girarmos de fato por theta=-45^circ, temos igualmente
tan2(-45^circ)=tan(-90^circ)=pminfty,
ou seja, o termo misto desaparece também para essa escolha de ângulo. Isso mostra que para theta=-45^circ é possível obter Btheta=0. Logo (II) é verdadeira.

Resposta

As afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

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