Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
W1=(ccca & b & c c & b & a) ; a, b, c in R subset M2 times 3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão do subespaço
W1=la & b & c[4pt]c & b & a;;a,b,cinRrsubset M2times3(R).
O conteúdo aqui é identificar que cada elemento de W1 é determinado por três parâmetros a,b,c, ou seja, é isomorfo a R^3.]

Passo 2

Observe que um elemento genérico de W1 pode ser escrito como combinação linear de três matrizes especiais, associando cada parâmetro a uma matriz “canônica”. Em particular, defina
Ma=1 & 0 & 0[4pt]0 & 0 & 1, Mb=0 & 1 & 0[4pt]0 & 1 & 0, Mc=0 & 0 & 1[4pt]1 & 0 & 0
Então qualquer
a & b & c[4pt]c & b & a
é
a,Ma ;+; b,Mb ;+; c,Mc ]

Passo 3

Mostramos que Ma,Mb,Mc gera W1 (todo elemento de W1 é combinação deles) e que são linearmente independentes (se x,Ma+y,Mb+z,Mc=0, então olhando às entradas obtém-se x=y=z=0). Logo esse conjunto é uma base de W1.

Passo 4

Como a base tem exatamente três elementos, concluímos que
dim(W1) = 3

Resposta

Base de W1:
l1 & 0 & 0[4pt]0 & 0 & 1,; 0 & 1 & 0[4pt]0 & 1 & 0,; 0 & 0 & 1[4pt]1 & 0 & 0r
Dimensão de W1:
dim(W1) = 3 ]

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