Analise as afirmações a seguir sobre Interpolação Polinomial:
1 - Existem diversas técnicas para aproximar uma função de fórmula desconhecida ou de difícil manipulação. Dentre essas técnicas podemos destacar: aproximação por interpolação, aproximação por regressão e aproximação por séries.
II - O Método utilizando a resolução do sistema linear trata-se de um método bastante complexo, tornando sua eficiência do ponto de vista computacional muito grande.
III - O Método de Lagrange ou Lagrangeano é baseado no fato de que qualquer polinômio de grau n passa pelos pontos (XO, YO), (X1, Y1), (X2, Y2), (Xn, Yn), com Xi diferente de Xj, quaisquer que sejam i diferente de j, pode ser escrito na forma:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são três afirmações sobre Interpolação Polinomial, que é uma técnica matemática usada para aproximar funções desconhecidas ou difíceis de manipular. Para analisar cada afirmação, vamos precisar entender um pouquinho sobre métodos de interpolação, sistemas lineares e o método de Lagrange. Vamos lá!

Passo 2

Afirmação I: “Existem diversas técnicas para aproximar uma função de fórmula desconhecida ou de difícil manipulação. Dentre essas técnicas podemos destacar: aproximação por interpolação, aproximação por regressão e aproximação por séries.”
Explicação: Sim, isso está correto! Existem várias técnicas para aproximar funções, e as mencionadas são realmente as principais. A interpolação envolve encontrar um polinômio que passe exatamente por um conjunto de pontos dados. A regressão busca a melhor linha (ou curva) que se ajusta aos dados de forma geral, sem necessariamente passar por todos os pontos. Já a aproximação por séries utiliza somas de termos (como séries de Taylor) para representar funções de maneira aproximada.

Passo 3

Afirmação II: “O Método utilizando a resolução do sistema linear trata-se de um método bastante complexo, tornando sua eficiência do ponto de vista computacional muito grande.”
Explicação: Aqui tem um erro. Resolver um sistema linear para encontrar o polinômio de interpolação pode ser complexo, principalmente para um grande número de pontos, mas isso não significa que sua eficiência computacional é muito grande. Na verdade, métodos que exigem a resolução de sistemas lineares são considerados menos eficientes em termos computacionais, especialmente quando comparados a métodos diretos como o de Lagrange ou Newton, que não precisam resolver sistemas lineares e são mais rápidos para essa finalidade.

Passo 4

Afirmação III: “O Método de Lagrange ou Lagrangeano é baseado no fato de que qualquer polinômio de grau n passa pelos pontos (XO, YO), (X1, Y1), (X2, Y2), (Xn, Yn), com Xi diferente de Xj, quaisquer que sejam i diferente de j, pode ser escrito na forma:”
Explicação: Essa afirmação está correta, mesmo que a formulação completa não esteja apresentada aqui. O Método de Lagrange realmente se baseia na ideia de que existe um polinômio único de grau n que passa por n+1 pontos distintos. A forma geral do polinômio de Lagrange envolve a soma de polinômios base que garantem que o polinômio final passe por cada um dos pontos dados.

Resposta

As afirmações I e III estão corretas, enquanto a afirmação II está incorreta.

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