Considere a transformação linear T:R3→R3 dada por T(x,y,z)=(z,x−y,−z). Assinale a alternativa INCORRETA.
a.dim(Im(T))=2
b.ImT={(1,0,−1),(0,1,0)}
c.T é sobrejetor
d.KerT={(1,1,0)}
e.dim(Ker(T))=1
a.dim(Im(T))=2
b.ImT={(1,0,−1),(0,1,0)}
c.T é sobrejetor
d.KerT={(1,1,0)}
e.dim(Ker(T))=1
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear $ T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 $ definida por $ T(x, y, z) = (z, x - y, -z)
Im(T)
Ker(T)$), dimensão desses espaços e se a transformação é sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a imagem de $ T $, ou seja, todos os vetores que podem ser obtidos aplicando $ T $ em vetores de $ \mathbb{R}^3 $. A imagem é gerada pelos vetores resultantes de $ T(x, y, z) = (z, x - y, -z) $.
Passo 3
Para achar a imagem, podemos expressar os componentes de $ T(x, y, z) $ de forma linear:
Isso mostra que a imagem é gerada pelos vetores $ (1, 0, -1) $ e $ (0, 1, 0) $. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a dimensão da imagem, que é o número de vetores na base da imagem. Como temos dois vetores que são linearmente independentes,
. Isso confirma a alternativa a como correta.
Passo 5
A alternativa b afirma exatamente a descrição que encontramos:
. Então, essa alternativa também está correta.
Passo 6
Para saber se $ T $ é sobrejetor, precisamos ver se a imagem de $ T $ é todo o espaço $ \mathbb{R}^3 $. Como
, que é menor que $ 3 $, $ T $ não consegue cobrir todo $ \mathbb{R}^3 $. Portanto, $ T $ não é sobrejetor. A alternativa c está errada.
Passo 7
Vamos agora encontrar o núcleo de $ T $, que são os vetores que $ T $ manda para o vetor zero:
Isso nos dá o sistema:
Da primeira e terceira equação, $ z = 0 $. Da segunda, $ x = y $. Então, os vetores no núcleo têm a forma $ (a, a, 0) $, ou seja, $ Ker(T) = {(1, 1, 0)} $. A alternativa d está correta.
Passo 8
Finalmente, a dimensão do núcleo () é o número de vetores na base do núcleo. Como $ Ker(T) $ é gerado pelo vetor $ (1, 1, 0) $, temos $ \dim(Ker(T)) = 1 $. A alternativa e também está correta.
Resposta
A alternativa c está INCORRETA.