Agora vem a ideia prática com determinantes: construa a matriz B obtida de A trocando a linha k por uma cópia da linha i (todas as outras linhas permanecem iguais às de A). Então:
Se i=k, a matriz B é igual a A, logo \det(B)=\det(A).
Se i\neq k, a matriz B possui duas linhas iguais (linha i e linha k), então \det(B)=0.
Agora expanda \det(B) pelo desenvolvimento de Laplace ao longo da linha k. Os cofatores usados na expansão são exatamente os mesmos que os cofatores C_{kj} de A, porque os menores para elementos da linha k não dependem do conteúdo da própria linha k (os menores omitiram a linha k). Assim
\det(B)=\sum_{j=1}^{n} b_{kj}\,C_{kj}.
Pelo modo como construímos B, temos b_{kj}=a_{ij}. Portanto
\det(B)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{kj}.
Comparando com a expressão anterior para (A\,\operatorname{adj}(A))_{ik}, vemos que
(A\,\operatorname{adj}(A))_{ik}=\det(B).
Logo, se i=k então (A\,\operatorname{adj}(A))_{ii}=\det(A); se i\neq k então (A\,\operatorname{adj}(A))_{ik}=0. Isso diz exatamente que
A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I.
Passo 4
Aplicando a identidade ao caso do enunciado: supondo que A é quadrada e \operatorname{det}(A)=1, da identidade temos
A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I=1\cdot I=I.
Como A^{\prime} foi dito ser a matriz adjunta de A, isto é A^{\prime}=\operatorname{adj}(A), segue que
A A^{\prime}=I.
Passo 5
Um exemplo concreto e rápido para fixar a ideia (2×2): seja
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}.
Então \det(A)=ad-bc e a matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix}d & -c\\\\ -b & a\end{pmatrix},
logo a adjunta é sua transposta (neste caso a mesma):
Se \det(A)=ad-bc=1, então A\,\operatorname{adj}(A)=I. Viu como bate com o caso geral?
Passo 6
Observação final importante (para a prova): a propriedade usada exige que A seja quadrada e que por “matriz adjunta” se entenda a adjugate (a transposta da matriz dos cofatores). Sob essas hipóteses a identidade é válida e a conclusão segue imediatamente.