(V/F) Se \operatorname{det}(A)=1 e A^{\prime} é a matriz adjunta de A, então A A^{\prime}=I.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“(V/F) Se \operatorname{det}(A)=1 e A^{\prime} é a matriz adjunta de A, então A A^{\prime}=I.”
Informações dadas:
  • \operatorname{det}(A)=1.
  • A^{\prime} é a matriz adjunta (adjugate) de A.
  • A definição de matriz adjunta pressupõe que A é uma matriz quadrada (se não for quadrada, não faz sentido falar em adjugate da maneira usual).
O que é pedido:
  • Decidir se a igualdade A A^{\prime}=I é verdadeira ou falsa sob as hipóteses dadas.

Passo 2

Vou explicar o que é a matriz adjunta e algumas ferramentas que vou usar (tudo bem mastigado).
Definição de cofator e adjunta:
  • Para uma matriz quadrada A=(a_{ij}) de ordem n, o menor M_{ij} é o determinante da matriz que se obtém de A removendo a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é definido por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A matriz dos cofatores é (C_{ij}). A matriz adjunta (ou adjugate) de A, que aqui chamamos de A^{\prime}, é a transposta da matriz dos cofatores:
A^{\prime}=\operatorname{adj}(A)=(C_{ji})_{i,j}.
Em outras palavras, a entrada na linha i, coluna j de A^{\prime} é A^{\prime}_{ij}=C_{ji}.
Importante: estas definições são padrão em álgebra linear; sempre indicam que A é quadrada.

Passo 3

Vou provar a identidade chave que usamos: para toda matriz quadrada A vale
A\,\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)\,A=\det(A)\,I.
Esta é uma identidade clássica; eu demonstro a igualdade A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I entrada a entrada.
Considere a entrada (i,k) do produto A\,\operatorname{adj}(A). Pelo cálculo de produto de matrizes,
(A\,\operatorname{adj}(A))_{ik}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,\operatorname{adj}(A)_{jk}.
Como \operatorname{adj}(A)_{jk}=C_{kj} (lembre que adjunta é a transposta dos cofatores), obtemos
(A\,\operatorname{adj}(A))_{ik}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{kj}.
Agora vem a ideia prática com determinantes: construa a matriz B obtida de A trocando a linha k por uma cópia da linha i (todas as outras linhas permanecem iguais às de A). Então:
  • Se i=k, a matriz B é igual a A, logo \det(B)=\det(A).
  • Se i\neq k, a matriz B possui duas linhas iguais (linha i e linha k), então \det(B)=0.
Agora expanda \det(B) pelo desenvolvimento de Laplace ao longo da linha k. Os cofatores usados na expansão são exatamente os mesmos que os cofatores C_{kj} de A, porque os menores para elementos da linha k não dependem do conteúdo da própria linha k (os menores omitiram a linha k). Assim
\det(B)=\sum_{j=1}^{n} b_{kj}\,C_{kj}.
Pelo modo como construímos B, temos b_{kj}=a_{ij}. Portanto
\det(B)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{kj}.
Comparando com a expressão anterior para (A\,\operatorname{adj}(A))_{ik}, vemos que
(A\,\operatorname{adj}(A))_{ik}=\det(B).
Logo, se i=k então (A\,\operatorname{adj}(A))_{ii}=\det(A); se i\neq k então (A\,\operatorname{adj}(A))_{ik}=0. Isso diz exatamente que
A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I.

Passo 4

Aplicando a identidade ao caso do enunciado: supondo que A é quadrada e \operatorname{det}(A)=1, da identidade temos
A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I=1\cdot I=I.
Como A^{\prime} foi dito ser a matriz adjunta de A, isto é A^{\prime}=\operatorname{adj}(A), segue que
A A^{\prime}=I.

Passo 5

Um exemplo concreto e rápido para fixar a ideia (2×2): seja
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}.
Então \det(A)=ad-bc e a matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix}d & -c\\\\ -b & a\end{pmatrix},
logo a adjunta é sua transposta (neste caso a mesma):
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Multiplicando,
A\,\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc & 0\\\\ 0 & ad-bc\end{pmatrix}=(ad-bc)\,I.
Se \det(A)=ad-bc=1, então A\,\operatorname{adj}(A)=I. Viu como bate com o caso geral?

Passo 6

Observação final importante (para a prova): a propriedade usada exige que A seja quadrada e que por “matriz adjunta” se entenda a adjugate (a transposta da matriz dos cofatores). Sob essas hipóteses a identidade é válida e a conclusão segue imediatamente.

Resposta

Verdadeiro

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