Um aluno de Cálculo I se deparou com a seguinte questão de V ou F: "A expressão \frac{x^{-1}-y^{-1}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}} equivale a \frac{x y}{x-y} "
O aluno considerou que a afirmação é verdadeira e justificou da seguinte forma:
\begin{array}{r} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y z}}=\frac{\frac{y-x}{x y}}{\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2} y^{2}}}=\frac{y-x}{x y} \cdot \frac{x^{2} y z}{y^{2}-x^{2}} \\\ =\frac{x y}{y-x} \end{array}
Agora você é o (a) professor(a). Avalie a resolução do aluno e dê a sua nota a ele, sabendo que a questão vale 1,0 ponto.

Passo 1

O enunciado pede que se avalie a afirmação: "A expressão \dfrac{x^{-1}-y^{-1}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}} equivale a \dfrac{x y}{x-y}".
O aluno respondeu que a afirmação é verdadeira e apresentou a resolução (copiada do aluno, com os mesmos símbolos):
\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y z}}=\frac{\frac{y-x}{x y}}{\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2} y^{2}}}=\frac{y-x}{x y} \cdot \frac{x^{2} y z}{y^{2}-x^{2}}=\frac{x y}{y-x}
Informações importantes dadas pelo enunciado e pelo aluno:
  • A expressão original é \dfrac{x^{-1}-y^{-1}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}.
  • O aluno afirma que isso é igual a \dfrac{x y}{x-y}.
  • O aluno manipulou frações e apresentou passos algébricos (há um termo estranho \,z no denominador em um ponto do trabalho do aluno).

Passo 2

Vou simplificar corretamente a expressão passo a passo (aqui ensino como fazer cada operação de fração, para você poder aplicar na prova). Primeiro, trabalhe numerador e denominador separadamente, transformando subtração de frações em uma única fração com denominador comum.
Passo A — numerador:
\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{x y}.
Explicação didática: para somar/subtrair \frac{1}{x} e \frac{1}{y} o denominador comum é x y. Convertendo:
\frac{1}{x}=\frac{y}{x y},\qquad \frac{1}{y}=\frac{x}{x y},
então a diferença é \frac{y-x}{x y}.
Passo B — denominador:
\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2} y^{2}}.
Explicação didática: usar denominador comum x^{2}y^{2}. Além disso, reconhecer que y^{2}-x^{2} é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada posteriormente como (y-x)(y+x).

Passo 3

Agora coloque a divisão das duas frações (dividir por uma fração significa multiplicar pelo inverso). Temos
\frac{\dfrac{y-x}{x y}}{\dfrac{y^{2}-x^{2}}{x^{2} y^{2}}} = \frac{y-x}{x y}\cdot\frac{x^{2}y^{2}}{y^{2}-x^{2}}.
Explicação didática: \dfrac{A/B}{C/D} = \dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}. Aqui A/B=\dfrac{y-x}{xy} e C/D=\dfrac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y^{2}}, então inverte-se a segunda fração.

Passo 4

Simplifique a expressão anterior cancelando fatores comuns. Observe que y^{2}-x^{2}=(y-x)(y+x). Assim:
\frac{y-x}{x y}\cdot\frac{x^{2}y^{2}}{y^{2}-x^{2}} = \frac{y-x}{x y}\cdot\frac{x^{2}y^{2}}{(y-x)(y+x)}.
Agora cancele (y-x) (desde que y\neq x) e cancele um fator x e um fator y:
\frac{\cancel{y-x}}{x y}\cdot\frac{x^{2}y^{2}}{\cancel{(y-x)}(y+x)} = \frac{x^{2}y^{2}}{x y (y+x)} = \frac{x y}{y+x}.
Resultado final da simplificação: a expressão equivale a \dfrac{x y}{y+x}.
Didática extra: portanto, a forma correta é \dfrac{x y}{x+y} (mesma coisa que \dfrac{x y}{y+x}). Note as condições de existência: é necessário x\neq 0, y\neq 0 e y\neq \pm x (para evitar divisão por zero no denominador original e na simplificação).

Passo 5

Compare o resultado correto com a afirmação dada. A afirmação dizia que a expressão equivale a \dfrac{x y}{x-y}. Nós achamos \dfrac{x y}{x+y}. Essas duas frações só são iguais em casos especiais (por exemplo, se y=0, o que nem está permitido aqui porque y não pode ser zero), portanto, em geral, elas são diferentes. Logo a afirmação é falsa.

Passo 6

Avaliação detalhada da resolução do aluno (critérios e justificativa da nota):
  • Pontos positivos do aluno:
    • O aluno identificou corretamente o numerador como \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{y-x}{xy}. (mérito)
    • Em um dos passos aparece a forma \dfrac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y^{2}} para o denominador, que é a expressão correta para \dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}}. (mérito)
  • Erros e problemas graves:
    • O aluno escreveu \frac{1}{y z} em um ponto; isso é um erro de cópia/consistência (apareceu um z que não faz sentido no enunciado) — indica falta de cuidado. (erro)
    • Na multiplicação final o aluno introduziu um fator z e usou \frac{x^{2} y z}{y^{2}-x^{2}}, que é aritmética incorreta e sem justificativa. (erro grave)
    • O aluno simplificou mal e chegou a \dfrac{x y}{y-x}, que está incorreto (além de ter o sinal trocado em relação ao correto \dfrac{x y}{y+x}). (erro final que leva à conclusão errada)
    • O aluno concluiu que a afirmação é verdadeira, quando, de fato, a afirmação é falsa. (conclusão errada)
    • Não fez menção às restrições de domínio ( x,y\neq 0, x\neq\pm y). (pequena omissão)
Proposta de distribuição de 1,0 ponto (justificativa pedagógica):
  • Identificar e calcular corretamente o numerador: 0,20 ponto (conquistado).
  • Identificar e escrever corretamente o denominador em forma única: 0,20 ponto (conquistado).
  • Aplicar corretamente a divisão de frações e o cancelamento até o resultado final correto: 0,40 ponto (não conquistado — cancelamento errado e introdução de z).
  • Indicar condições de existência/domínio: 0,20 ponto (não apresentado).
Somando os acertos do aluno: 0{,}20 + 0{,}20 = 0{,}40.
Comentário final e pedagogia: o aluno começou bem (as duas primeiras transformações estão corretas), mas cometeu erros de cópia e de cancelamento que mudaram completamente o resultado. No exame, esses erros acontecem por pressa; sempre verifique cada fator que se cancela e cuide para não introduzir símbolos estranhos. Você pode recuperar bastante pontuação apenas sendo mais cuidadoso com o cancelamento e checando o sinal final. Força — isso melhora com prática!

Resposta

0,4

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