Um aluno de Cálculo I se deparou com a seguinte questão de V ou F: "A expressão
equivale a
"
O aluno considerou que a afirmação é verdadeira e justificou da seguinte forma:
Agora você é o (a) professor(a). Avalie a resolução do aluno e dê a sua nota a ele, sabendo que a questão vale 1,0 ponto.
Passo 1
O enunciado pede que se avalie a afirmação: "A expressão
equivale a
".
O aluno respondeu que a afirmação é verdadeira e apresentou a resolução (copiada do aluno, com os mesmos símbolos):
O aluno respondeu que a afirmação é verdadeira e apresentou a resolução (copiada do aluno, com os mesmos símbolos):
Informações importantes dadas pelo enunciado e pelo aluno:
- A expressão original é
. - O aluno afirma que isso é igual a
. - O aluno manipulou frações e apresentou passos algébricos (há um termo estranho
no denominador em um ponto do trabalho do aluno).
Passo 2
Vou simplificar corretamente a expressão passo a passo (aqui ensino como fazer cada operação de fração, para você poder aplicar na prova). Primeiro, trabalhe numerador e denominador separadamente, transformando subtração de frações em uma única fração com denominador comum.
Passo A — numerador:
Explicação didática: para somar/subtrair
e
o denominador comum é
. Convertendo:
então a diferença é
.
Passo B — denominador:
Explicação didática: usar denominador comum
. Além disso, reconhecer que
é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada posteriormente como
.
Passo 3
Agora coloque a divisão das duas frações (dividir por uma fração significa multiplicar pelo inverso). Temos
Explicação didática:
. Aqui
e
, então inverte-se a segunda fração.
Passo 4
Simplifique a expressão anterior cancelando fatores comuns. Observe que
. Assim:
Agora cancele
(desde que
) e cancele um fator
e um fator
:
Resultado final da simplificação: a expressão equivale a
.
Didática extra: portanto, a forma correta é
(mesma coisa que
). Note as condições de existência: é necessário
,
e
(para evitar divisão por zero no denominador original e na simplificação).
Passo 5
Compare o resultado correto com a afirmação dada. A afirmação dizia que a expressão equivale a
. Nós achamos
. Essas duas frações só são iguais em casos especiais (por exemplo, se
, o que nem está permitido aqui porque
não pode ser zero), portanto, em geral, elas são diferentes. Logo a afirmação é falsa.
Passo 6
Avaliação detalhada da resolução do aluno (critérios e justificativa da nota):
- Pontos positivos do aluno:
- O aluno identificou corretamente o numerador como
. (mérito) - Em um dos passos aparece a forma
para o denominador, que é a expressão correta para . (mérito)
- O aluno identificou corretamente o numerador como
- Erros e problemas graves:
- O aluno escreveu
em um ponto; isso é um erro de cópia/consistência (apareceu um que não faz sentido no enunciado) — indica falta de cuidado. (erro) - Na multiplicação final o aluno introduziu um fator
e usou , que é aritmética incorreta e sem justificativa. (erro grave) - O aluno simplificou mal e chegou a
, que está incorreto (além de ter o sinal trocado em relação ao correto ). (erro final que leva à conclusão errada) - O aluno concluiu que a afirmação é verdadeira, quando, de fato, a afirmação é falsa. (conclusão errada)
- Não fez menção às restrições de domínio (
, ). (pequena omissão)
- O aluno escreveu
Proposta de distribuição de 1,0 ponto (justificativa pedagógica):
- Identificar e calcular corretamente o numerador: 0,20 ponto (conquistado).
- Identificar e escrever corretamente o denominador em forma única: 0,20 ponto (conquistado).
- Aplicar corretamente a divisão de frações e o cancelamento até o resultado final correto: 0,40 ponto (não conquistado — cancelamento errado e introdução de
). - Indicar condições de existência/domínio: 0,20 ponto (não apresentado).
Somando os acertos do aluno:
.
Comentário final e pedagogia: o aluno começou bem (as duas primeiras transformações estão corretas), mas cometeu erros de cópia e de cancelamento que mudaram completamente o resultado. No exame, esses erros acontecem por pressa; sempre verifique cada fator que se cancela e cuide para não introduzir símbolos estranhos. Você pode recuperar bastante pontuação apenas sendo mais cuidadoso com o cancelamento e checando o sinal final. Força — isso melhora com prática!
Resposta
0,4