Efetue as operações e transforme numa única fração:
\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x+2}-\frac{x}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para efetuar as operações e transformar numa única fração a expressão
\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x+2}-\frac{x}{x^{2}-4}.
Informações dadas e o que devemos obter:
  • As parcelas são \dfrac{3}{x-2}, \dfrac{2}{x+2} e \dfrac{x}{x^{2}-4}.
  • Devemos somar/subtrair essas frações e escrever o resultado como uma única fração algébrica simplificada.
  • Importante: os valores de x que tornam algum denominador zero devem ser anotados (restrições de domínio).

Passo 2

Identificar os denominadores e fatorar quando for útil.
  • Os denominadores são \;x-2,\;x+2 e \;x^{2}-4.
  • Notar que \;x^{2}-4 é uma diferença de quadrados; fatorando:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Essa fatoração mostra que um denominador já contém os dois fatores dos outros denominadores.

Passo 3

Escolher um denominador comum (o mínimo múltiplo comum) e explicar por que.
  • Como \;x^{2}-4=(x-2)(x+2) contém ambos (x-2) e (x+2), o denominador comum mais simples é
\text{MMC} = x^{2}-4.
  • Para somar/subtrair frações, reescreve-se cada fração com esse denominador comum multiplicando numerador e denominador por aquilo que falta.

Passo 4

Reescrever cada fração com denominador comum \;x^{2}-4.
  • Para \dfrac{3}{x-2} falta o fator (x+2), então:
\frac{3}{x-2}=\frac{3(x+2)}{x^{2}-4}.
  • Para \dfrac{2}{x+2} falta o fator (x-2), então:
\frac{2}{x+2}=\frac{2(x-2)}{x^{2}-4}.
  • A terceira fração já tem o denominador \;x^{2}-4:
\frac{x}{x^{2}-4}=\frac{x}{x^{2}-4}.
Agora podemos juntar tudo com o mesmo denominador.

Passo 5

Combinar as frações num único numerador sobre x^{2}-4.
  • Colocando os sinais corretos (lembrar que os dois primeiros termos são subtraídos conforme o enunciado):
\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x+2}-\frac{x}{x^{2}-4} = \frac{3(x+2)-2(x-2)-x}{x^{2}-4}.

Passo 6

Expandir e simplificar o numerador passo a passo.
  • Expandindo cada termo do numerador:
3(x+2)=3x+6, \qquad -2(x-2)=-2x+4, \qquad - x = -x.
  • Somando os termos:
3x+6 + (-2x+4) + (-x) = (3x-2x-x) + (6+4) = 0x + 10 = 10.
Portanto o numerador simplifica para 10.

Passo 7

Escrever a fração final e discutir simplificação e domínio.
  • O resultado é
\frac{10}{x^{2}-4}.
  • Não é possível cancelar mais nada entre numerador e denominador porque o numerador é a constante 10 e o denominador é (x-2)(x+2) (não há fator numérico comum a ser cancelado sem alterar o polinômio).
  • Restrição de domínio: os valores que tornam denominadores iniciais zero devem ser excluídos, ou seja x\neq 2 e x\neq -2.

Resposta

\dfrac{10}{x^{2}-4},\quad x\neq \pm 2

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