Analise se as afirmativas são verdadeiras ou falsas:
a) Se e , então os vetores e são coplanares.
Choose…
b) .
Choose…
c) O volume do tetraedro gerado pelos vetores e é igual .
Choose…
Passo 1
O enunciado pede para decidir se três afirmativas sobre vetores são verdadeiras ou falsas. O conteúdo envolve
ortogonalidade e definição de coplanaridade (produto escalar triplo zero caracteriza coplanaridade),
propriedades do produto escalar triplo ,
volume de tetraedro em função do produto escalar triplo.
Passo 2
Analisando a) “Se e , então são coplanares.”
Dois vetores ortogonais a (isto é, e ) pertencem ao plano perpendicular a , mas não pertence a esse plano (salvo caso degenerado ). Para ver que em geral não são coplanares, basta o contra-exemplo , , .
Então
mas
logo não são coplanares.
Passo 3
Analisando b) ,(,2vec a,vec b,vec c) = (-vec a,2vec c,vec b).
Use
(2vec a,vec b,vec c) =2,vec acdot(vec btimesvec c) =2,(vec a,vec b,vec c),
e
(-vec a,2vec c,vec b) =-2,vec acdot(vec ctimesvec b) =-2,(vec a,vec c,vec b)
Mas (vec a,vec c,vec b) é uma permutação ímpar de (vec a,vec b,vec c), logo
(vec a,vec c,vec b)=-(vec a,vec b,vec c),
de onde
(-vec a,2vec c,vec b) =-2l[-(vec a,vec b,vec c)r] =2,(vec a,vec b,vec c)
Assim ambos os lados são iguais a 2,(vec a,vec b,vec c).
Passo 4
Analisando c) “O volume do tetraedro gerado pelos vetores vec v+vec w, vec v-vec w e vec u é igual a a,lvert(vec u,vec v,vec w)rvert3.”
Primeiro, o volume do tetraedro formado por vec p,vec q,vec r é
Vrm tetra =lvert(vec p,vec q,vec r)rvert6
Aqui vec p=vec v+vec w, vec q=vec v-vec w, vec r=vec u. Calcule o produto triplo: