Analise se as afirmativas são verdadeiras ou falsas:
a) Se u cdot v=0 e w cdot v=0, então os vetores u, v e w são coplanares.
Choose…
b) (2 a, b, c)=(-a, 2 c, b).
Choose…
c) O volume do tetraedro gerado pelos vetores v+w, v-w e u é igual a |(u, v, w)|3.
Choose…

Passo 1

O enunciado pede para decidir se três afirmativas sobre vetores são verdadeiras ou falsas. O conteúdo envolve
  • ortogonalidade e definição de coplanaridade (produto escalar triplo zero caracteriza coplanaridade),
  • propriedades do produto escalar triplo (vec u,vec v,vec w)=vec ucdot(vec vtimesvec w),
  • volume de tetraedro em função do produto escalar triplo.

Passo 2

Analisando a) “Se vec ucdotvec v=0 e vec wcdotvec v=0, então vec u,vec v,vec w são coplanares.”
Dois vetores ortogonais a vec v (isto é, vec u e vec w) pertencem ao plano perpendicular a vec v, mas vec v não pertence a esse plano (salvo caso degenerado vec v=0). Para ver que em geral não são coplanares, basta o contra-exemplo
vec u=(1,0,0), vec v=(0,1,0), vec w=(0,0,1).
Então
vec ucdotvec v=0, vec wcdotvec v=0,
mas
(vec u,vec v,vec w) =det1&0&00&1&00&0&1=1neq0,
logo não são coplanares.

Passo 3

Analisando b) ,(,2vec a,vec b,vec c) = (-vec a,2vec c,vec b).
Use
(2vec a,vec b,vec c) =2,vec acdot(vec btimesvec c) =2,(vec a,vec b,vec c),
e
(-vec a,2vec c,vec b) =-2,vec acdot(vec ctimesvec b) =-2,(vec a,vec c,vec b)
Mas (vec a,vec c,vec b) é uma permutação ímpar de (vec a,vec b,vec c), logo
(vec a,vec c,vec b)=-(vec a,vec b,vec c),
de onde
(-vec a,2vec c,vec b) =-2l[-(vec a,vec b,vec c)r] =2,(vec a,vec b,vec c)
Assim ambos os lados são iguais a 2,(vec a,vec b,vec c).

Passo 4

Analisando c) “O volume do tetraedro gerado pelos vetores vec v+vec w, vec v-vec w e vec u é igual a a,lvert(vec u,vec v,vec w)rvert3.”
Primeiro, o volume do tetraedro formado por vec p,vec q,vec r é
Vrm tetra =lvert(vec p,vec q,vec r)rvert6
Aqui vec p=vec v+vec w, vec q=vec v-vec w, vec r=vec u. Calcule o produto triplo:
(vec v+vec w,;vec v-vec w,;vec u) =-2,(vec u,vec v,vec w)
Logo
llvert(vec v+vec w,vec v-vec w,vec u)rrvert =2,llvert(vec u,vec v,vec w)rrvert
e
Vrm tetra =2,lvert(vec u,vec v,vec w)rvert6 =lvert(vec u,vec v,vec w)rvert3
Não existe nenhum outro fator “ a” multiplicando; a forma correta é sem esse a.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa

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