Os pontos A(-2,3,2), B(3,1,1), C(-10,-1,4) e D(1, a, 1) são coplanares se a=
square

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de a de modo que os pontos A(-2,3,2), B(3,1,1), C(-10,-1,4) e D(1,a,1) sejam coplanares. Isso envolve verificar se três vetores formados a partir de um ponto base têm produto misto (triplo escalar) igual a zero, pois três vetores são coplanares exatamente quando seu produto misto é nulo.

Passo 2

Escolhemos A como ponto base e montamos os vetores
AB = B - A = (3 - (-2),,1 - 3,,1 - 2) = (5,,-2,,-1),
AC = C - A = (-10 - (-2),,-1 - 3,,4 - 2) = (-8,,-4,,2),
AD = D - A = (1 - (-2),,a - 3,,1 - 2) = (3,,a-3,,-1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ACtimesAD usando a definição componente a componente:
ACtimesAD = l((-4)(-1) - 2(a-3),;2cdot3 - (-8)(-1),;(-8)(a-3) - (-4)cdot3r)
Simplificando cada componente:
(-4)(-1) - 2(a-3) = 4 - 2a +6 = 10 - 2a,
2cdot3 - (-8)(-1) = 6 - 8 = -2,
(-8)(a-3) - (-4)cdot3 = -8a +24 +12 = -8a +36
Logo,
ACtimesAD = (,10 - 2a,,-2,,-8a +36,)

Passo 4

O produto misto é
ABcdotl(ACtimesADr) = (5,,-2,,-1)cdot(10 - 2a,,-2,,-8a +36)
Fazendo o produto escalar:
5(10 - 2a) + (-2)(-2) + (-1)(-8a +36) = 50 -10a +4 +8a -36 = 18 - 2a
Para coplanaridade, exigimos
18 - 2a = 0 Longrightarrow a = 9

Resposta

a = 9

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