d10. De manhã cedo o aquecedor da casa quebra. A temperatura externa é de -7,0^circ C. Como resultado, a temperatura interna cai de 22^circ C para 18^circ C em 45 minutos. Tempo Quanto tempo demorará até que a temperatura interna caia mais 4,0^circ C ? Suponha que a temperatura externa não varie e que a lei de resfriamento de Newton possa ser aplicada.

Passo 1

O enunciado envolve a lei de resfriamento de Newton, que afirma que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a sua temperatura e a do meio externo. A solução geral dessa lei é
T(t)=Tamb+l(T0-Tambr)e^-k,t,
onde Tamb é a temperatura ambiente, T0 é a temperatura inicial do corpo e k é a constante de resfriamento.

Passo 2

Para determinar k, usamos os dados iniciais: Tamb=-7,0^circC, T0=22,0^circC e em t1=45 min a temperatura é T(45)=18,0^circC. Logo
18 -(-7)=l(22-(-7)r)e^-kcdot45,
isto é,
25 = 29,e^-45k Longrightarrow e^-45k=2529 Longrightarrow k=-145ln!l(tfrac2529r)

Passo 3

Agora queremos o tempo De<a t para que a temperatura caia mais 4,0^circC, ou seja de 18^circC a 14^circC. Nesse intervalo a diferença inicial em relação ao ambiente é 18-(-7)=25 e queremos chegar a 14-(-7)=21. Assim
21 = 25,e^-k,De<a t Longrightarrow e^-k,De<a t=2125 Longrightarrow De<a t = -1kln!l(tfrac2125r)
Substituindo k=-tfrac145ln(tfrac2529) obtém-se
De<a t =45,ln!l(tfrac2125r)ln!l(tfrac2529r) approx 52,9 minutos

Resposta

O tempo adicional necessário é aproximadamente 52,9 minutos.

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