Analise as alternativas dessa questão e determine qual delas tem como solução y 1 = x 3 .
A) y ′′ + 1 = 0
B) x y ′′ − y ′ − x 2 y ′′′ 2 = 0
C) y ′′′ = 0
D) y ′′′ + y ′ = 0
A) y ′′ + 1 = 0
B) x y ′′ − y ′ − x 2 y ′′′ 2 = 0
C) y ′′′ = 0
D) y ′′′ + y ′ = 0
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão juntos! Aqui, a gente tem uma função específica, $ y_1 = x^3 $, e quatro alternativas de equações diferenciais. Nosso objetivo é descobrir qual dessas equações é satisfeita por essa função. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ y_1 $ e substituir nas alternativas para ver qual delas se iguala a zero. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de $ y_1 $. Lembre-se que a derivada de uma função nos mostra a taxa de variação dessa função em relação a $ x $.
A função dada é:
Calculando a primeira derivada ($ y’ $):
Agora, a segunda derivada ($ y’’ $):
E a terceira derivada ($ y’’’ $):
Passo 3
Agora que temos as derivadas, vamos analisar cada uma das alternativas substituindo $ y $, $ y’ $, $ y’’ $ e $ y’’’ $ na equação dada.
Alternativa A: $ y’’ + 1 = 0 $
Substituindo $ y’’ = 6x $:
Isso significa que a equação só é verdadeira para $ x = -\frac{1}{6} $, mas queremos que seja válida para todo $ x $. Então, essa alternativa não é a correta.
Alternativa B: $ x y’’ - y’ - x^2 y’’’ = 0 $
Substituindo as derivadas:
Novamente, a equação só vale para $ x = 0 $, então não é a alternativa correta.
Alternativa C: $ y’’’ = 0 $
Substituindo $ y’’’ = 6 $:
Isso obviamente não é verdadeiro, então essa alternativa também está errada.
Alternativa D: $ y’’’ + y’ = 0 $
Substituindo $ y’’’ = 6 $ e $ y’ = 3x^2 $:
Como $ x^2 $ não pode ser negativo nos números reais, essa equação nunca é verdadeira para nenhum $ x $.
Resposta
Nenhuma das alternativas A, B, C ou D é satisfeita pela função $ y_1 = x^3 $. Portanto, nenhuma das opções apresentadas tem $ y_1 = x^3 $ como solução.