Analise se cada uma das funções abaixo é contínua para todos os pontos de seu domínio. Caso não seja, determine os pontos em que f é descontínua.
-2 x^2 & se x <= 3 3 x & se x>3

Passo 1

O exercício pede para decidir se a função
f(x)= -2 x^2 & se x<=33x & se x>3
é contínua em todos os pontos do seu domínio e, se não for, identificar onde falta continuidade. O conteúdo é continuidade de funções definidas por partes e vamos usar a definição de continuidade e o fato de que polinômios são contínuos.

Passo 2

Sabemos pela teoria que toda função polinomial é contínua em cada ponto do seu domínio. Assim, nas regiões onde a definição não muda ( x<3 e x>3), ambas as partes ( -2x^2 e 3x) são contínuas.
O único ponto que pode oferecer problema é o ponto de troca de definição, x=3. Para verificar continuidade em x=3 precisamos comparar:
• o valor f(3),
• o limite à esquerda limxto3^-f(x),
• o limite à direita limxto3^+f(x).

Passo 3

Calculando cada um:
f(3) = -2cdot3^2 = -18,
limxto3^-f(x) = limxto3^-(-2x^2) = -2cdot3^2 = -18,
limxto3^+f(x) = limxto3^+(3x) = 3cdot3 = 9

Passo 4

Como o limite à esquerda ( -18) é diferente do limite à direita ( 9), não há limite único em x=3, logo a função é descontínua em x=3. Em todos os outros pontos, ela é contínua porque cada ramo é um polinômio contínuo.

Resposta

A função é descontínua apenas em x = 3 e contínua em todo o restante do domínio.

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