Neste exercício, estudaremos o crescimento das somas parciais da série harmônica.
(a) Sabemos que
, para qualquer
. Interpretando a integral como área abaixo do gráfico, mostre que
para todo
.
(b) Mostre que
e conclua que para qualquer
,
Isso mostra que, embora a série harmônica seja divergente, suas somas parciais crescem muito lentamente. (Por exemplo,
. )
© Considere a sequência
. Mostre que
é uma sequência decrescente limitada inferiormente. O número
é chamado de constante de Euler-Mascheroni e vale aproximadamente 0.57721.
(a) Sabemos que
(b) Mostre que
© Considere a sequência
Passo 1
O exercício trata do crescimento das somas parciais da série harmônica e consta de três partes: (a) usar a interpretação geométrica de
para obter uma desigualdade com a soma
; (b) estimar
para obter um limite da soma até
; © mostrar que a sequência
é decrescente e limitada inferiormente, concluindo que converge para a constante de Euler–Mascheroni.
Passo 2
Para (a), note que para cada
temos a área do retângulo de base 1 e altura
abaixo do gráfico de
entre
e
. Como
é decrescente, essa área satisfaz
Somando de
até
obtemos
Assim
Passo 3
Para (b), primeiro mostramos que
. Como
e
, segue
. Para qualquer
temos então
Passo 4
Para ©, definimos
. Calculamos a diferença entre termos consecutivos:
Como
para
, temos
Logo
, isto é,
é decrescente. Além disso, para
vemos
e, por decrescimento,
para todo
. Portanto
é decrescente e limitada inferiormente, logo converge a um limite
(constante de Euler–Mascheroni).
Resposta
(a) Para todo
,
. (b) Como
, para todo
vale
. © A sequência
é decrescente e limitada inferiormente, logo converge para a constante de Euler–Mascheroni
.