Neste exercício, estudaremos o crescimento das somas parciais da série harmônica.
(a) Sabemos que ln x=integral1^x d tt, para qualquer x>0. Interpretando a integral como área abaixo do gráfico, mostre que
1+12+ldots+1n <= 1+ln n
para todo n >= 2.
(b) Mostre que ln 10<125 e conclua que para qualquer m in N,
1+12+ldots+110^m <= 1+12 m5
Isso mostra que, embora a série harmônica seja divergente, suas somas parciais crescem muito lentamente. (Por exemplo, 1+12+ldots+110^1000 <= 2401. )
© Considere a sequência xn=1+12+ldots+1n-ln n, n >= 1. Mostre que gamma doteq lim n infty 1+12+ldots+1n-ln n é uma sequência decrescente limitada inferiormente. O número
é chamado de constante de Euler-Mascheroni e vale aproximadamente 0.57721.

Passo 1

O exercício trata do crescimento das somas parciais da série harmônica e consta de três partes: (a) usar a interpretação geométrica de ln x=integral1^x dtt para obter uma desigualdade com a soma 1+1/2+cdots+1/n; (b) estimar ln 10 para obter um limite da soma até 1/10^m; © mostrar que a sequência xn=1+1/2+cdots+1/n-ln n é decrescente e limitada inferiormente, concluindo que converge para a constante de Euler–Mascheroni.

Passo 2

Para (a), note que para cada k=2,3,dots,n temos a área do retângulo de base 1 e altura 1/k abaixo do gráfico de y=1/t entre t=k-1 e t=k. Como 1/t é decrescente, essa área satisfaz
1k <= integralk-1^k dtt
Somando de k=2 até k=n obtemos
sumk=2^n 1k <= integral1^n dtt=ln n
Assim
1+12+cdots+1n <= 1+ln n

Passo 3

Para (b), primeiro mostramos que ln 10<125=2.4. Como e^2.4>e^2=7.389 e e^2.4approx11.02>10, segue ln10<2.4. Para qualquer min N temos então
1+12+cdots+110^m<=1+ln(10^m)=1+mln10<1+12m5

Passo 4

Para ©, definimos xn=1+1/2+cdots+1/n-ln n. Calculamos a diferença entre termos consecutivos:
xn+1-xn=1n+1-lnl(1+tfrac1nr)
Como 1/t>=1/(n+1) para tin[n,n+1], temos
lnl(1+tfrac1nr)=integraln^n+1dtt>=integraln^n+1dtn+1=1n+1
Logo xn+1-xn<=0, isto é, xn é decrescente. Além disso, para n=1 vemos x1=1-ln1=1>0 e, por decrescimento, xn>=0 para todo n. Portanto xn é decrescente e limitada inferiormente, logo converge a um limite gamma (constante de Euler–Mascheroni).

Resposta

(a) Para todo n>=2, 1+1/2+cdots+1/n<=1+ln n. (b) Como ln10<12/5, para todo min N vale 1+1/2+cdots+1/10^m<=1+12m/5. © A sequência xn=1+1/2+cdots+1/n-ln n é decrescente e limitada inferiormente, logo converge para a constante de Euler–Mascheroni gammaapprox0.57721.

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