Esboce o gráfico de f(x)=1x^3+3 x+1 seguindo o seguinte roteiro:
(a) Determine o domínio máximo de f.
(b) Determine os pontos críticos de f.
© Determine onde a função é crescente e onde é decrescente.
(d) Determine os onde a função é côncava para cima e onde é côncava para baixo, bem como os eventuais pontos de inflexão.
(e) Determine se os pontos críticos são de máximo ou mínimo local
(f) Estude as assíntotas.
(g) Baseado nos itens acima, trace o esboço do gráfico de f.

Passo 1

O problema pede o esboço da curva de f(x)=1x^3+3x+1 passando por análise de domínio, derivadas para monotonicidade e concavidade, classificação de extremos, assíntotas e, por fim, desenho do gráfico.

Passo 2

Precisamos primeiro achar o domínio de f. Como há o termo 1/x^3, a função não está definida em x=0. Logo, o domínio é
(-infty,0)cup(0,+infty)

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada primeira para achar os pontos críticos. Derivando f(x)=x^-3+3x+1 temos
f'(x)=-3x^-4+3=3-3x^4
Igualando a zero:
3-3x^4=0Longrightarrow x^4=1Longrightarrow x=pm1
Portanto, os pontos críticos são x=-1 e x=1.

Passo 4

Para estudar onde a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de f'(x)=3-3/x^4:
  • Em ( -infty,-1), toma-se por exemplo x=-2: f'(-2)=3-3/16>0, logo f cresce.
  • Em (-1,0), ex: x=-0.5: f'=-45<0, logo f decresce.
  • Em (0,1), ex: x=0.5: idem, f'<0, decrescente.
  • Em (1,+infty), ex: x=2: f'>0, crescente.

Passo 5

Agora a derivada segunda para concavidade. Derivando f'(x)=-3x^-4+3:
f''(x)=12x^-5=12x^5
Como f''(x)>0 se e somente se x^5>0, concluímos:
  • Concavidade para cima em (0,+infty).
  • Concavidade para baixo em (-infty,0).
    Não há ponto de inflexão interno, pois f''(x) nunca zera (só muda de sinal em x=0, fora do domínio).

Passo 6

Com base na mudança de sinal de f' em x=-1 (de positivo para negativo) e em x=1 (de negativo para positivo), classificamos:
  • x=-1 é ponto de máximo local, com f(-1)=-1-3+1=-3.
  • x=1 é ponto de mínimo local, com f(1)=1+3+1=5.

Passo 7

Para as assíntotas:
  • Vertical em x=0, pois f(x)to+infty quando xto0^+ e f(x)to-infty quando xto0^-.
  • Oblíqua em y=3x+1, pois
limxtopminftyl(f(x)-(3x+1)r)=limxtopminfty1x^3=0

Passo 8

Juntando tudo: a curva tem duas partes separadas pelo eixo y (vertical em x=0); no ramo à esquerda ela cresce até o máximo (-1,-3), depois decresce até -infty; no ramo à direita ela decresce de +infty até o mínimo (1,5), depois cresce indefinidamente. A concavidade muda em x=0 (não em ponto do domínio) e há assíntote oblíqua y=3x+1. Com isso, posso traçar o esboço.
O esboço final mostra duas curvas: à esquerda de x=0, ramo côncavo para baixo que atinge máximo em (-1,-3) e cai para -infty em xto0^-; à direita de x=0, ramo côncavo para cima que cai de +infty em xto0^+, atinge mínimo em (1,5) e sobe aproximando-se de y=3x+1.

Resposta

Gráfico com domínio (-infty,0)cup(0,infty), máximo local em (-1,-3), mínimo local em (1,5), concavidade para baixo em x<0 e para cima em x>0, assíntota vertical x=0 e oblíqua y=3x+1.

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