Esboce o gráfico de
seguindo o seguinte roteiro:
(a) Determine o domínio máximo de
.
(b) Determine os pontos críticos de
.
© Determine onde a função é crescente e onde é decrescente.
(d) Determine os onde a função é côncava para cima e onde é côncava para baixo, bem como os eventuais pontos de inflexão.
(e) Determine se os pontos críticos são de máximo ou mínimo local
(f) Estude as assíntotas.
(g) Baseado nos itens acima, trace o esboço do gráfico de
.
(a) Determine o domínio máximo de
(b) Determine os pontos críticos de
© Determine onde a função é crescente e onde é decrescente.
(d) Determine os onde a função é côncava para cima e onde é côncava para baixo, bem como os eventuais pontos de inflexão.
(e) Determine se os pontos críticos são de máximo ou mínimo local
(f) Estude as assíntotas.
(g) Baseado nos itens acima, trace o esboço do gráfico de
Passo 1
O problema pede o esboço da curva de
passando por análise de domínio, derivadas para monotonicidade e concavidade, classificação de extremos, assíntotas e, por fim, desenho do gráfico.
Passo 2
Precisamos primeiro achar o domínio de
. Como há o termo
, a função não está definida em
. Logo, o domínio é
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada primeira para achar os pontos críticos. Derivando
temos
Igualando a zero:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para estudar onde a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de
:
- Em
, toma-se por exemplo : , logo cresce. - Em
, ex: : , logo decresce. - Em
, ex: : idem, , decrescente. - Em
, ex: : , crescente.
Passo 5
Agora a derivada segunda para concavidade. Derivando
:
Como
se e somente se
, concluímos:
- Concavidade para cima em
. - Concavidade para baixo em
.
Não há ponto de inflexão interno, poisnunca zera (só muda de sinal em , fora do domínio).
Passo 6
Com base na mudança de sinal de
em
(de positivo para negativo) e em
(de negativo para positivo), classificamos:
-
é ponto de máximo local, com . -
é ponto de mínimo local, com .
Passo 7
Para as assíntotas:
- Vertical em
, pois quando e quando . - Oblíqua em
, pois
Passo 8
Juntando tudo: a curva tem duas partes separadas pelo eixo
(vertical em
); no ramo à esquerda ela cresce até o máximo
, depois decresce até
; no ramo à direita ela decresce de
até o mínimo
, depois cresce indefinidamente. A concavidade muda em
(não em ponto do domínio) e há assíntote oblíqua
. Com isso, posso traçar o esboço.
O esboço final mostra duas curvas: à esquerda de , ramo côncavo para baixo que atinge máximo em
e cai para
em
; à direita de
, ramo côncavo para cima que cai de
em
, atinge mínimo em
e sobe aproximando-se de
.
O esboço final mostra duas curvas: à esquerda de
Resposta
Gráfico com domínio
, máximo local em (-1,-3), mínimo local em (1,5), concavidade para baixo em x<0 e para cima em x>0, assíntota vertical x=0 e oblíqua y=3x+1.