Analise se cada uma das funções abaixo é contínua para todos os pontos de seu domínio. Caso não seja, determine os pontos em que f é descontínua.
Passo 1
O enunciado define uma função f por partes e pede para a gente verificar a continuidade em cada ponto do domínio. O conteúdo é continuidade de funções e vamos usar o fato de que funções elementares são contínuas e checar o limite em x=0 para ver se coincide com o valor definido ali.
Passo 2
Para x≠0, f(x)=
. Sabemos que
é contínua e a função identidade x também é contínua. Como x≠0 afasta o denominador de zero, a divisão de duas funções contínuas permanece contínua. Logo, f é contínua em todo ponto x≠0.
Agora analisamos o ponto x=0. Precisamos calcular e comparar com f(0)=1.
Agora analisamos o ponto x=0. Precisamos calcular
Passo 3
O limite clássico é
Como esse limite é igual a f(0)=1, concluímos que f é contínua em x=0.
Portanto, f é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Resposta
A função f é contínua para todo x real; não há pontos de descontinuidade.