Analise se cada uma das funções abaixo é contínua para todos os pontos de seu domínio. Caso não seja, determine os pontos em que f é descontínua.
sin 1x & se x neq 0 1 & se x=0

Passo 1

Temos a função definida por partes:
f(x)= sindfrac1x, & xneq 0, 1, & x=0
O conteúdo aqui é continuidade de funções, e vamos precisar usar o fato de que composições de funções contínuas são contínuas e também estudar o limite quando x→0.

Passo 2

Para x≠0, considere g(x)=1/x e h(u)=sin u. Sabemos que g é contínua em todo x≠0 e h é contínua em todo ℝ. Logo a composição
(f(x)=h(g(x))=sin1x)
é contínua para cada ponto x≠0.

Passo 3

Para x=0, analisamos o limite
limxto 0sin1x
Como sin(1/x) oscila entre –1 e 1 infinitas vezes quando x→0, esse limite não existe. Portanto não há valor de limite que coincida com f(0)=1, caracterizando descontinuidade em x=0.

Resposta

A função f é contínua em todo x\neq 0 e descontínua em x=0.

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