Analise se cada uma das funções abaixo é contínua para todos os pontos de seu domínio. Caso não seja, determine os pontos em que f é descontínua.
Passo 1
Temos a função definida por partes:
O conteúdo aqui é continuidade de funções, e vamos precisar usar o fato de que composições de funções contínuas são contínuas e também estudar o limite quando x→0.
Passo 2
Para x≠0, considere g(x)=1/x e h(u)=sin u. Sabemos que g é contínua em todo x≠0 e h é contínua em todo ℝ. Logo a composição
é contínua para cada ponto x≠0.
Passo 3
Para x=0, analisamos o limite
Como sin(1/x) oscila entre –1 e 1 infinitas vezes quando x→0, esse limite não existe. Portanto não há valor de limite que coincida com f(0)=1, caracterizando descontinuidade em x=0.
Resposta
A função f é contínua em todo x\neq 0 e descontínua em x=0.